Los números sirven para contar, ordenar y comparar cantidades, y también para expresar la medida de las cosas. Los primeros números que se inventaron fueron los naturales, que permiten contar unidades discretas y hacer operaciones elementales con ellas. Fue preciso desarrollar formas de escribir las cantidades: los sistemas de numeración.

Ha habido una gran variedad de sistemas de numeración y de algunos de ellos aún quedan trazas en la actualidad. Por ejemplo, el uso de la numeración romana en las fechas, el sistema sexagesimal de los babilonios en la medida de ángulos o en el lenguaje francés restos de su numeración vigesimal (80 es "cuatro-veintes" por ejemplo).

Elaboración propia

Para hacernos una idea de la dificultad que entrañaba el manejo de los números y sus operaciones en la antiguedad pensemos en cómo se haría, por ejemplo, una multiplicación en el sistema de numeración de los romanos. En el siglo V de nuestra era, los hindúes introdujeron el 0 y el sistema posicional decimal (como sabemos, las cifras o dígitos tienen distinto valor según su posición: 72 no es lo mismo que 27). Esto produjo un gran avance y simplificó mucho la forma de contar y operar con los números. No obstante, debemos señalar que este sistema de numeración no se empezó a introducir en Europa hasta el siglo XIII.

Para medir cantidades de una magnitud, los números enteros resultan insuficientes: no siempre hay un número entero de unidades en lo que queremos medir. Así aparecieron las fracciones (o razones) para poder dividir cantidades y así poder considerar las partes de un objeto que no podían describirse como unidades de medida enteras.

Los matemáticos griegos creían que con los números naturales, o las razones entre ellos, (racionales) se podían comparar dos cantidades cualesquiera, y que por lo tanto la medida de cualquier segmento se podía expresar mediante una fracción. También dieron un gran impulso al estudio de la geometría, y dentro de ella desarrollaron toda una teoría de números que permitió tratar de forma abstracta la Aritmética. Aunque se conocía desde muy antiguo la relación entre los lados de un triángulo rectángulo (teorema de Pitágoras), fueron los griegos los primeros en demostrarla.

Con el teorema de Pitágoras calcularon que la diagonal del cuadrado de lado 1 es y al tratar de encontrar la fracción que representa esta medida no sólo no lo consiguieron sino que fueron capaces de demostrar que no podía existir. Paradójicamente el éxito de su geometría derrumbó su creencia en que toda medida se podía expresar mediante una fracción y permitió conocer la existencia de los números irracionales.

Un avance importante fue la extensión del sistema de representación decimal a las fracciones, lo que facilitó enormemente el cálculo. Tanto los números racionales como los irracionales (en conjunto, todos los números reales), admiten una representación decimal; de hecho se puede considerar el conjunto de los números reales como el de todos los números decimales.

Trabajar en la práctica con números reales obliga a cierto tipo de aproximación, lo que conlleva algún tipo de error. Para garantizar que trabajamos con valores lo "suficientemente" exactos tenemos que controlar que el error está dentro de lo admisible y esto es mucho más fácil con el uso de los números decimales.

El desarrollo y ampliación del significado de los números es un ejemplo muy ilustrativo de evolucionan las ideas matemáticas. Los parrafos anteriores pretenden dar unas pinceladas muy superficiales cómo introducción a los aspectos que se desarollarán en este tema.