1.4. Plano inclinado

La mayor parte de los movimientos no tienen lugar en un plano horizontal, sino que presentan un cierto desnivel. La modelización de este tipo de casos, típicos en el estudio de la dinámica, es el movimiento sobre un plano inclinado.

Estudiaremos el caso general, con rozamiento y acción de una fuerza paralela al plano. Los casos más simples pueden obtenerse sin más que sustituir los datos suministrados en las ecuaciones.

En este problema es fundamental escoger adecuadamente los ejes de referencia, que se tomarán en la dirección del movimiento y su perpendicular, esto es, con el eje x paralelo a la superficie del plano inclinado.

Comenzaremos con el diagrama de fuerzas que actúan sobre un cuerpo en un plano inclinado, donde ya se ha descompuesto la única fuerza cuya dirección no coincide con ninguno de los ejes, el peso. Debes tener en cuenta a la hora de calcular su valor que el ángulo que forma respecto al eje y es el mismo que el ángulo del plano (α) por tratarse de ángulos alternos-internos

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Imagen 14 de elaboración propia

El valor de los componentes de la fuerza peso en cada uno de los ejes es, en este caso:

Y las ecuaciones correspondientes resultan ser:

Sustituyendo la fuerza de rozamiento por su valor como producto del coeficiente de rozamiento por la normal, se obtiene:

Para calcular el valor mínimo de rozamiento para que un objeto no deslice por un plano inclinado cuando no actúa sobre él ninguna fuerza basta con igualar a cero tanto la fuerza como la aceleración en el conjunto de ecuaciones anterior, utilizando el coeficiente de rozamiento estático μes y considerar que el cuerpo permanecerá en reposo mientras la componente en el eje x del peso sea menor que el valor máximo de la fuerza de rozamiento:

Otro caso de particular interés es el cálculo de la aceleración con que desliza un objeto en un plano inclinado cuando sobre él no actúa ninguna fuerza (F=0), teniendo en cuenta que ahora el cuerpo descenderá por el plano, por lo que deberemos cambiar el sentido del eje x, siendo ahora positiva la componente del peso y negativa la fuerza de rozamiento. Además, por existir movimiento, el coeficiente de rozamiento a utilizar será el dinámico μdi :

Icono IDevice Actividad
Las ecuaciones del plano inclinado se simplifican mucho en el caso que no exista ninguna fuerza externa actuando sobre el sistema. Entre las situaciones más comunes cabe destacar, por su simplicidad:
  • Aceleración de un cuerpo en ausencia de rozamiento(µ=0): ax = g·sen α
  • Aceleración de un cuerpo con rozamiento: ax = g·(sen α - µdi·cos α)
  • Valor mínimo del coeficiente de rozamiento para que un cuerpo no deslice por el plano: µes > tan α
Si existe alguna fuerza externa es necesario utilizar el conjunto de ecuaciones, ya que no es posible realizar las simplificaciones que dan lugar a estos resultados.

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Habitualmente, en deportes como el ciclismo no se habla del ángulo de inclinación de una carretera o pista, sino que se indica en forma de porcentaje. Así, es normal escuchar cómo la parte más dura de un puerto tiene un desnivel del 12%, u observar una señal que indica pendiente prolongada del 5% durante los próximos 2 kilómetros. ¿Qué significan estos porcentajes?
Los topógrafos utilizan una fórmula que relaciona la distancia horizontal recorrida con la vertical:
% Pendiente = Distancia en vertical · 100/Distancia en horizontal
Sin embargo, no es sencillo calcular la distancia en horizontal que hemos recorrido, por lo que, dado que los ángulos en carretera no suelen ser muy grandes, puede tomarse el espacio recorrido sobre ella en lugar de la distancia en horizontal, ya que el error en estos casos es mínimo. Así, la fórmula habitual para calcular el ángulo a partir del desnivel es:
sen α = (metros ascendidos / metros recorridos) → α = arcsen (metros ascendidos / metros recorridos)

Imagen 15 de dominio público

Icono de iDevice Ejemplo o ejercicio resuelto
Una motorista se encuentra ascendiendo un puerto con una pendiente constante del 5%. Si la masa total del conjunto motorista-moto es de 300 kg, responde a las siguientes cuestiones:
a) ¿Cuál es el ángulo de inclinación de la carretera respecto a la horizontal?

b) Dibuja el esquema de fuerzas que actúan sobre el sistema.

c) Calcula el valor mínimo del coeficiente de rozamiento entre las ruedas y el asfalto para que la moto, con el motor apagado y completamente frenada, no comience a deslizarse hacia abajo.

d) Determina la fuerza que deberá realizar el motor para subir con velocidad constante, supuesto un coeficiente de rozamiento µdi = 0.5

Icono de IDevice de pregunta AV - Pregunta de Elección Múltiple
Un libro se coloca en la parte superior de un plano inclinado de ángulo 30º respecto a la horizontal. Si el coeficiente de rozamiento estático entre las superficies del plano y el libro es de 0.5 ¿deslizará el libro por el plano?
       
No