2. Calculando tablas de verdad

Tomemos como punto de partida la siguiente expresión lógica:

[(p → q) Λ ¬q] → ¬p

Podría ser la forma lógica de una expresión como:

"Si hace calor, entonces nos bañamos.

No es verdad que nos estemos bañando;

por lo tanto, no hace calor".

Imágen 8. Autor: Desconocido. Dominio Público

 

Sabemos que los enunciados atómicos (p, q, y r) pueden ser verdaderos o falsos, y también sabemos que las conectivas se definen por adquirir unos determinados valores de verdad dependiendo del valor de las proposiciones que unen.

Ahora nos interesa calcular el valor de verdad de todo el enunciado ( [(p → q) Λ ¬q] → ¬p), de forma que podamos determinar la validez lógica del mismo. Para poder hacerlo debemos seguir una serie de pasos:

1º. Colocar los valores de verdad de las proposiciones atómicas, en todas sus combinaciones posibles:

[(p q) Λ ¬ q] ¬ p
1   1     1     1
1   0     0     1
0   1     1     0
0   0     0     0

Como en esta expresión tenemos 2 proposiciones distintas (p y q) las combinaciones son 4. Pero si tuvieramos 3 proposiciones deberíamos poner 8 combinaciones; y si tuvieramos 4 proposiciones deberíamos poner 16. En general el número de combinaciones depende del número de proposiciones distintas que haya, de acuerdo a la siguiente tabla:

Nº de proposiciones distintas
  Nº de combinaciones de valores de verdad
1
2
3
4
5
6
  2
4
8
16
32
64

Como ves, el número de combinaciones se multiplica por 2 por cada nueva proposición distinta que tenemos. Tambien existe un método para colocar todas las combinaciones de forma mecánica y sin error, como podrás ver en el siguiente apartado Curiosidad.

Sobre la tarea.

Lee con atención todos los pasos que se describen en este apartado: son necesarios para realizar la segunda parte de la tarea.

Una vez que tenemos asignados los valores de verdad de las proposiciones atómicas p y q, empezamos a calcular los valores de verdad de los enunciados negados: ¬ p ¬ q:
[(p q) Λ

¬q]

¬p

1

1

0

0

 

1

0

1

0

 




0

1

0

1

 




 

0

0

1

1

 

Luego, calculamos los valores de las conectivas del paréntesis y del corchete:

 

[(p q) Λ
¬ q]
¬ p

1

1

0

0

1

0

1

1

1

0

1

0

0

0

0

1





0

1

0

1

 



 

 

 

 

 

 

Y finalmente calculamos el condicional que une el valor de la conectiva Λ del corchete con ¬ p:
[(p q) Λ
¬ q]
¬ p

1

1

0

0

1

0

1

1

1

0

1

0

0

0

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

0

0

Por último, calculamos la tabla del condicional de la derecha, que es la conectiva más dominante. Para ello comparamos las tablas de la negación de p y la de la conjunción que acabamos de hallar (pues este condicional une todo el corchete, cuyo valor de verdad es la tabla de la conjunción, con la negación de p):
[(p q) Λ
¬ q]
¬ p

1

1

0

0

1

0

1

1

1

0

1

0

0

0

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

0

0

Imágen 9. Autor: Desconocido. Dominio público
Esta última tabla es el resultado final y nos dice el valor de verdad de toda la expresión.
  • Como puedes ver, la tabla de verdad está compuesta solo por valores de verdad, lo que quiere decir que es verdadera. Eso significa que el razonamiento es correcto o, dicho en términos lógicos, la expresión es una tautología.
Hay ocasiones en que el resultado final  de la tabla de verdad no es tautológico por contener unos y ceros. Cuando eso sucede,  el razonamiento no es lógicamente correcto y recibe el nombre de indeterminación o contingencia. Pero, si el resultado final  de la tabla de verdad está compuesto únicamente por ceros, el razonamiento, además de ser falso también, recibe el nombre de contradicción.
Practiquemos un poco. Vamos a hallar la tabla de verdad de las siguientes expresiones:
( p Λ q ) → p
( p V q ) → q
Una vez resueltas quedarían así:
(p Λ q) p

1

1

0

0

 

1

0

0

0

1

0

1

0

 

1

1

1

1

1

1

0

0

 

(p V q) q

1

1

0

0

 

1

1

1

0

1

0

1

0

 

1

0

1

1

1

0

1

0

 

Tautología
Indeterminación


Los números en color verde indican el orden  de las operaciones lógicas.

 

Ten en cuenta a la hora de hacer la tabla de verdad de un razonamiento que  si  la conectiva une un paréntesis con una proposición atómica, o bien dos paréntesis entre sí, has de conseguir primero el valor del paréntesis, cuyo valor vendrá definido por la conectiva que haya en dicho paréntesis.

Icono de iDevice Ejemplo o ejercicio resuelto

Intenta hallar la tabla de verdad de las siguientes expresiones:

a) (p Λ ¬p) → q

b) ( p V q) ↔ ( q V p)


Icono IDevice Objetivos

El cálculo de tablas de verdad es muy sencillo. Pero, requiere un poco de atención y de práctica. En Internet hay disponibles muchos recursos para ampliar y practicar tablas de verdad. En este enlace, en el apartado Temas te aparecerá la opción Tablas de verdad. Verás que, en vez de utilizar 1 y 0 para indicar "Verdad" y "Falsedad", utiliza V y F que, como ya indicamos, es otra manera de simbolizar los valores de verdad.