4. Reglas y axiomas

Hemos definido anteriormente la lógica como un cálculo que se presenta en la forma de un sistema formal axiomático (similar al del acertijo MU). Como tal, la lógica está compuesta por símbolos, reglas y axiomas. Hasta ahora hemos estudiado los símbolos (los que forman la lógica de enunciados) y una pequeña parte de las reglas (las que nos permiten calcular tablas de verdad). Pero, en realidad, la lógica es mucho más amplia.

Una parte fundamental de la lógica proposicional la constituye la llamada deducción natural, que se basa en la definición y aplicación de reglas de inferencia. Lo entenderás bien si volvemos a retomar el ejemplo que utilizamos en el apartado anterior. Entonces, planteamos la cuestión de decidir sobre la validez del siguiente razonamiento:

 

"Siempre que llueve nos quedamos en casa jugando a las cartas o viendo la televisión. Hoy llueve y la televisión se ha estropeado. Por tanto, hoy jugaremos a las cartas".

Imágen 11. Autor: Nagelfar. Dominio público

Resolvimos la cuestión mediante una tabla de verdad (llegando a la conclusión de que una máquina también podría hacerlo). Pero podríamos plantear el problema de esta otra forma: dadas las siguientes dos premisas (proposiciones que tomamos como verdaderas para deducir a partir de ellas otras proposiciones):

  1. Siempre que llueve nos quedamos en casa jugando a las cartas o viendo la televisión.
  2. Hoy llueve y la televisión se ha estropeado.

¿Es posible llegar a la siguiente conclusión?

  • Hoy jugaremos a las cartas.

 

No pretendemos aquí analizar la validez de una expresión lógica, sino deducir una conclusión siguiendo una serie de pasos a partir unos datos previos. Es decir, la solución de esta nueva cuestión nos exige propiamente razonar. Podríamos incluso plantear qué conclusiones se pueden extraer de las premisas dadas, sin hacer alusión a ninguna conclusión en concreto.

¿Existe un cálculo lógico que nos permita responder a estas nuevas cuestiones?

Icono IDevice Actividad
Sí, en primer lugar la deducción natural. La deducción natural se basa en la definición y aplicación de reglas de inferencia, de manera que podemos deducir enunciados a partir de otros enunciados que adoptamos como punto de partida. De esta forma, la deducción natural nos permite reproducir en la forma de un cálculo las deducciones o razonamientos que hacemos de forma natural cuando hablamos o pensamos. De ahí su nombre.

El problema anterior se presentaría en deducción natural de esta forma:

  • Premisa 1: p → ( q V r)
  • Premisa 2: p Λ ¬r
  • Conclusión: q

Mediante la aplicación de las reglas de inferencia y siguiendo una serie de deducciones intermedias, podríamos demostrar que la conclusión se deduce de las premisas.

Dejaremos para otra ocasión el estudio de las reglas de inferencia y de la deducción natural. Puedes ampliar su estudio en el enlace que aparece en el siguiente Para saber más.

Icono IDevice Objetivos

Icono de IDevice de pregunta Pregunta de Elección Múltiple
a) Los axiomas son:
       
1) Expresiones lógicas contradictorias.
2) Expresiones lógicas verdaderas a partir de las cuales podemos deducir todas las expresiones verdaderas.
3) Expresiones lógicas verdaderas que se demuestran a partir de otras previas.

b) La deducción natural:
  
1) Nos permite reproducir en la forma de un cálculo las deducciones que hacemos cuando hablamos o pensamos.
2) Es una parte de la lógica informal, pues no utiliza símbolos lógicos.
3) Es la parte de la lógica que estudia exclusivamente las deducciones que realizamos en las ciencias naturales.

Imágen 12. Autor: N. Dillinger. Dominio público

Solo nos queda hablar de los axiomas. Al igual que en el acertijo MU había un axioma (MI) que nos servía como punto de partida para empezar nuestras deducciones, en la lógica se ha planteado la existencia de un reducido número de expresiones lógicas verdaderas, los axiomas, a partir de las cuales poder deducir, utilizando reglas de inferencia, el resto de las verdades lógicas.

Se han planteado distintos sistemas de axiomas, siendo uno de los más conocidos el que plantearon B. Russell y A. N. Whitehead en su obra Principia Mathematica (1910-1913), compuesto por los siguientes cuatro axiomas (si hallas su tabla de verdad comprobarás que son tautologías):

A1: (p v p) -> p

A2: p -> (p v q)

A3: (p v q) -> (q v p)

A4: (p -> q) -> [(r v p) -> (r v q)]

La pretensión era que de esas cuatro proposiciones se debían poder deducir todas las proposiciones verdaderas de la lógica de enunciados.

En el siguiente enlace podrás saber más sobre sistemas formales axiomáticos y sus limitaciones:

Sobre sistemas formales axiomáticos y sus limitaciones.