Tema 1: Resolución de triángulos rectángulos

Los orígenes de la trigonometría
1. Fotografía de Nina-no, bajo licencia de Wikimedia Commons

 

Seguramente conocerás cómo se las ingenió Tales de Mileto para medir la altura de la pirámide de Keops:

  • Se tumbó en la arena para medir la longitud de su cuerpo; se puso en un extremo de la línea marcada y esperó a que su sombra igualara la longitud de la sombra que proyectaba.
  • Su razonamiento fue que en ese instante la sombra de la pirámide mediría tantos pasos como su altura.

Efectivamente, la altura del sol era la misma para Tales y para la pirámide y los triángulos rectángulos eran semejantes por tener ángulos iguales.

El método de las sombras que utilizó Tales te puede servir para medir alturas inaccesibles... ¡siempre que haya un día soleado! ¿Y cómo lo hacemos si nos sale un día gris? No hay problema, para eso está la trigonometría.

Trigonometría, etimológicamente, significa medida de triángulos o de tres ángulos: del griego, τρι (tri = tres), γωνο (gono = ángulo), μετρία (metría).

La trigonometría tiene su origen en las observaciones astronómicas y, aunque en Babilonia y Egipto ya se utilizaban los ángulos de un triángulo y las relaciones entre sus lados para hacer cálculos de agrimensura o para la construcción de pirámides, tenemos que esperar a la cultura griega para que dé un impulso significativo al estudio de los triángulos.

Aristarco de Samos (s. III a.C.) propuso el primer sistema heliocéntrico y calculó la distancia al Sol y a la Luna utilizando triángulos. Sin embargo, se considera a Hiparco de Nicea (s. III a.C.) como el padre de la trigonometría porque mejoró las observaciones de Aristarco y fue el primero que estableció relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo.

2. Clinómetro, bajo licencia de flickr

Resolver un triángulo es averiguar la medida de sus tres lados y sus tres ángulos. Conocidos tres de esos seis elementos, con tal de que uno sea un lado, la trigonometría nos permitirá hallar el resto. Ya no será necesario un día soleado para medir alturas, nos bastará un aparato para medir ángulos: un teodolito, un clinómetro o un sencillo aparato que podremos construir nosotros mismos.

En este tema nos ocuparemos de la resolución de triángulos rectángulos y veremos cómo muchos problemas de navegación, de topografía, de agrimensura, de astronomía, de diseño, de aeronáutica, de arquitectura o de urbanismo requieren de estas técnicas.

El estudio de los triángulos abrirá la puerta para que las funciones circulares o trigonométricas resuelvan problemas de la física: fenómenos ondulatoros, como una cuerda que vibra; de óptica, acústica o electrónica.