2.5. Periodicidad

Cuando se calienta el agua de una caldera, se regula mediante un termostato que la temperatura no suba por encima de un determinado valor. No obstante, el termostato permite que la temperatura supere ligeramente el valor fijado y no vuelve a poner en marcha el dispositivo hasta que la temperatura no ha descendido un poco por debajo del nivel marcado. Si dibujásemos la gráfica de la temperatura dentro de la caldera a lo largo del tiempo observaríamos algo parecido a esto.

  12.Caldera. Wikimedia Commons

Una vez se ha alcanzado la temperatura programada, la gráfica va subiendo y bajando cada cierto tiempo para reflejar la bajada de la temperatura al enfriarse la caldera y la posterior subida al ordenar el termostato la nueva puesta en marcha. A un comportamiento de este tipo lo denominámos periódico.

Si en el ejemplo con el que empezábamos el apartado anterior (la hora de salida del Sol), en vez de un año considerásemos varios años sucesivos, estaríamos ante otro fenómeno periódico. La gráfica se parecería a la siguiente (aquí hemos representado la variación a lo largo de dos años):

 

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De una función f(x) diremos que es periódica, y que su período es T, si para cada valor, x, de la variable independiente se cumple que f(x + T) = f(x).

Icono de iDevice Ejemplo o ejercicio resuelto
En los ejemplos que hemos estudiado en los apartados anteriores no hemos tenido la oportunidad de ver ninguna función periódica si descontamos la del la hora del amanecer. Sin embargo, dedicaremos un tema completo de esta unidad al estudio de las funciones trigonométricas, que son el modelo por excelencia de los fenómenos periódicos.
Como hemos visto en los ejemplos anteriores, el reconocimiento de la periodicidad de una función a partir de su gráfica es inmediato. Por ejemplo:
Corresponde a una función periódica de período T = 40, en la que el trozo que está dentro del rectángulo coloreado se repite a lo largo de todo el dominio.

En determinados fenómenos es fácil reconocer la periodicidad. Por ejemplo, la función que nos dice, para cada instante, la altura de uno de los pies de un ciclista, cuando esta pedaleando a un ritmo constante es una función periódica. Su período es el tiempo que tarda el ciclista en dar una pedalada.

Un poco más complicado es reconocerlo a partir de una expresión analítica. La función E(x) calcula la parte entera de cualquier númeroi real, es decir, el resultado de truncar todos los números reales a partir de la coma decimal. Consideremos ahora la función f(x), definida por la expresión analítica f(x) = xE(x). Esta función para cada número real, le quita su parte entera, dejando tan sólo sus decimales; por lo tanto, se repetirá periódicamente con un período de T = 1. Su gráfica es:


Icono de iDevice AV - Reflexión

a) ¿Cuál es el período de la función cuya gráfica es

?

b) Explica porqué la función cuya expresión analítica es es periódica. ¿Cuál es su período?

Icono IDevice Para saber más
Para finalizar, te proporcionamos una colección de ejercicios que debes hacer para consolidar lo que has aprendido a lo largo de este tema.

* Ejercicios de consolidación
* Soluciones