3.3. Funciones polinómicas

En este apartado recordamos las funciones polinómicas, y las revisamos someramente teniendo en cuenta los resultados anteriores. En este caso, vamos a ver que si la función está descompuesta en producto de factores, o lo que es lo mismo, si conocemos sus raíces y la multiplicidad de éstas, es muy sencillo trazar una gráfica aproximada.

El procedimiento general es:

  • Averiguar las raíces de la función y su multiplicidad (repasa el Tema 5 de la 1ª Unidad si hiciera falta).
  • Situar todas las raíces en el eje OX.
  • Determinar el signo de la función en un punto que no sea raíz (por comodidad se elegirá, si no son raíces, por este orden: 0, 1, -1, 2,...).
  • Establecer cuáles de las regiones del plano que determinan las raíces pueden contener o no a la función.
  • De acuerdo con la multiplicidad de cada raíz y con la ayuda de las regiones, dibujar un pequeño segmento que nos indique cómo cortará la gráfica al eje OX.
  • Trazar un "borrador" de la gráfica.
  • Ajustarla, si fuera necesario, tomando algún valor en puntos que interesen.

 

Con el applet siguiente podrás practicar con algunas funciones polinómicas de grado menor o igual a 4 (muy raramente se tiene la ocasión de trabajar con alguna de grado superior) que vamos a ver en los ejemplos y ejercicios que te planteamos. En el applet se traza una línea de puntos por cada raíz, que delimita las regiones del plano.

Te sugerimos que utilices el applet por tu cuenta para ver cuál es la forma de las funciones, luego con cada ejemplo o ejercicio, y en un papel aparte, intentas trazar la gráfica aproximada por tu cuenta, comprobando finalmente la solución.

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Icono de iDevice Ejemplo o ejercicio resuelto

Halla las raíces de las funciones polinómicas siguientes y, con la ayuda del regionamiento, represéntalas de forma aproximada:

(a) f(x)=x3-3x2-x+3 (b) f(x)=x4-x3-2x2

 

Las funciones polinómicas tienen raíces enteras, por lo que sus raíces enteras serán divisores del término independiente (además, en el apartado (b) se puede sacar factor común x2).

(a) Aplicando lo anterior y la regla de Ruffini obtenemos: f(x)=(x+1)·(x-1)·(x-3). Te dejamos los detalles para que obtengas la solución con el applet.

(b) De forma similar (en este caso, una vez sacado factor común x2, se puede resolver la ecuación de segundo grado que queda) resulta: f(x)=x2·(x+1)·(x-2).


Icono de IDevice de pregunta AV - Pregunta de Elección Múltiple
Dada la función f(x)=-x3+3x+2, ¿cuál de las siguientes opciones es verdadera?

(Utiliza solamente el applet cuando ya hayas terminado la autoevaluación)

  
Las raíces de f(x) son -1, 1 y 2.
La función sólo toma valores negativos en el intervalo (-2 , 1).
La función es decreciente si x<-2.
La función es creciente si x<-2.