2. Distribuciones discretas de probabilidad

5. Tres perritos. Creative Commons

Consideremos las camadas consistentes en exáctamente tres perritos. Si nos fijamos en el número de hembras que se la forman, acabamos de definir una variable aleatoria X que queda resumida en la siguiente tabla:

Sucesos mmm mmh, mhm, hmm
mhh, hmh, hhm
hhh
X 0 1 2 3

Se trata por lo tanto de una variable aleatoria discreta.

Si observamos un gran número de camadas como esta, obtendremos la frecuencia relativa asociada a cada uno de los valores de esta variable. Por ejemplo, la tabla que se ve a la derecha corresponde a la observación de 100 camadas de tres perritos. Podemos ver tambén el diagrama de columnas asociado.

Como podemos suponer que aproximadamente el 50% de los perros que nacen son cada uno de los sexos, aunque no siempre que observemos 100 camadas de tres perritos obtendremos el mismo resultado que antes si que podemos suponer que las frecuencias, y por tanto la forma de la gráfica, serán muy parecidas. La probabilidad nos proporciona un modelo teórico de lo que sucede en estas experiencias. Mediante las leyes básicas de la probabilidad podemos calcular, sin mucha dificultad, las probabilidades de cada uno de los valores de esta variable aleatoria.

A continuación figura la tabla correspondiente a estas probabilidades, así como una gráfica en la que se muestra la distribución de probabilidades (en azul) junto a la distribución de frecuencias que teníamos antes:

X P
0 0,125
1 0,375
2 0,375
3 0,125
Total 1
X F
fr
0 12 0,12
1 35 0,35
2 44 0,44
3 11

0,11

Total
100 1

 

Icono IDevice Importante
Llamamos función de probabilidad P de la variable aleatoria discreta X, o distribución de probabilidad de esa variable, a una función que hace corresponder a cada valor de la variable su probabilidad:

El dominio de esta función es el conjunto finito de valores que forman la imagen de la variable aleatoria. El recorrido son números positivos y menores o iguales a 1.
Dado que la variable aleatoria recorre todos los sucesos del espacio muestral, la suma de las probabilidades asociadqs debe se 1. Esto lo escribiremos de la siguiente forma:

La función de probabilidad se suele representar mediante un diagrama de barras (como hemmos hecho en el ejercicio con el que se ha comenzado el apartado) o mediante un histograma. En el segundo caso, cada barra del histograma es un rectángulo cuya área es la probabilidad asociada al valor correspondiente de la variable aleatoria.

Por ejemplo, consideremos la variabla aleatoria que a cada lanzamiento de tres monedas le asocia el número de caras que han salido: la función de probabilidad se define mediante esta tabla:

Suceso +++
c++, +c+, ++c
cc+, c+c, +cc
ccc
X 0
1
2
3
P(X)
1/8
3/8
3/8
1/8

La gráfica adjunta es la representación de esta función de probabilidad.

Con la función de probabilidad, aunque simplificamos la experiencia aleatoria identificando sucesos que son distintos pero no en lo que afecta a lo que se quiere estudiar.

Icono de iDevice Ejemplo o ejercicio resuelto
En el ejemplo con el que hemos empezado el apartado, los valores que toma la función de probabilidad son los que aparecen en la última tabla. Es decir: P(X=0) = 0,125, P(X=1) = 0,375, P(X=2) = 0,375 y P(X=3) = 0,125.
6. Mi mp3. Creative Commons
Veamos otro caso:
En nuestro reproductor de mp3 hay una función que genera una lista de reproducción aleatoria escogiendo tres discos de los que tenemos cargados. Tenemos cargados 10 discos de rock, 7 de jazz y 3 de música clásica. Vamos a buscar la función de probabilidad asociada a la variable aleatoria que nos dice el número de discos de jazz que forman nuestra lista de reproducción.
Para reponder necesitamos saber primero cual es el espacio muestral, es decir los sucesos que pueden ocurrir. Luego definir la variable aleatoria y finalmente las probabilidades asociadas a cada valor de la variable aleatoria. Para ello nos serviremos de un recurso que ya has utilizado en el tema anterior: haremos un diagrama de árbol.
En él designaremos por J la selección de un disco de jazz y por O, la no selección de un disco de jazz. La gráfica adjunta resume todo el proceso. En cada rama del árbol aparece la probabilidad de seguir esa rama. La probabilidad de cada suceso será el producto de las probabilidades que aparecen en la rama que lo describe.
La variable aleatoria asocia cada suceso del espacio muestral con el número de discos de jazz que contiene. De acuerdo con todo la anterior, tendremos que la función de probabilidad es:

Icono de iDevice AV - Reflexión

Tenemos siete tarjetas que tiene escrita cada una de ellas una palabra:

Extraemos al azar una de ellas y consideremos las siguientes variables aleatorias:

a) El número de letras que tiene la palabra,

b) El número de letras "a" que tiene la palabra

c) El número de vocales que tiene la palabra

Establece, para cada una de las variables aleatorias, su función de probabilidad y el correspondiente histograma.