2. Ecuación de las ondas armónicas unidimensionales

La ecuación de una onda es una función de la posición y del tiempo, y = f (x,t ). Una onda armónica unidimensional es aquella que propagándose en una dimensión puedes describirla mediante una función sinusoidal (seno o coseno).

Supón que el extremo de una cuerda tensa vibra con un m.a.s.. Los distintos puntos de la cuerda describirán movimientos armónicos de las mismas características. Puedes observar que es así en la animación adjunta. Observa como el punto rojo vibra con el mismo m.a.s. que el extremo de la cuerda

Animación 6. Melde. Creative commons

La elongación del extremo (x=0) de la cuerda en un instante será:

donde es la separación máxima de la posición de equilibrio y se denomina amplitud.

 

Si la perturbación se mueve con una velocidad constante , la elongación de un punto situado en la posición x en el instante t será:

que es la que tenía el extremo (), segundos antes.

 

Teniendo en cuenta que la pulsación del movimiento armónico es ,


Teniendo en cuenta la relación entre el período y la longitud de onda, , la ecuación de la onda puedes expresarla en la forma:

 

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La ecuación de una onda armónica puede expresarse:



Imagen 6.Fffred. Dominio público

Al ángulo se le denomina fase de la onda ya que define el estado de vibración del punto en el instante , y es la constante de fase o fase inicial.

Si la diferencia de fase entre dos puntos es 2radianes, están en fase, ya que su estado de vibración es el mismo. Por el contrario, si la diferencia de fase es de radianes, están en oposición de fase y sus estados vibratorios son opuestos.

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Dos puntos de una cuerda en la que se propaga una onda armónica oscilan en fase. Si la distancia entre los dos puntos es de 20 cm, ¿cuál es la longitud de onda de la onda en la cuerda?


En la deducción de esta ecuación la onda se propaga en el sentido positivo del eje X. Si la onda se propaga en sentido opuesto, la ecuación de la onda será:

 


Animación 7. David Harrison. Creative commons

También podías haber utilizado la función coseno para describir la perturbación y el resultado para la ecuación de la onda habría sido:

 

 

En el estudio del movimiento ondulatorio se utilizan las ondas armónicas ya que cualquier onda puede expresarse como superposición de ondas armónicas (Teorema de Fourier).

En la animación puedes ver como la onda recorre una longitud de onda en un período y también, que modificando el signo en la fase la onda se propaga en sentido contrario.

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Una onda armónica que viaja en el sentido positivo del eje X tiene una amplitud de 3 mm una longitud de onda de 10 cm y una frecuencia de 20 Hz. ¿Cuál es la ecuación de la onda?


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La ecuación de una onda que se propaga en una cuerda viene dada por:

y ( x,t ) = 0,1 sin ( 6π t - 4π x)

donde x e y están expresadas en metros y t en segundos.

Calcula la amplitud, el período, la frecuencia, la longitud de onda y la velocidad de propagación de la onda en la cuerda.


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La ecuación de una onda armónica en una cuerda es:

y(x, t) = 0,01 sin (100π t + 20π x),

escrita en el SI. Se pide:

a) ¿En qué sentido se mueve la onda?

b) ¿Cuál es su velocidad?

c) ¿Cuál es la longitud de onda, la frecuencia y el periodo?