2.1 La constante de la tercera ley de Kepler

Imagen 18. Elaboración propia

La ley de Gravitación Universal permite calcular la constante de la tercera ley de Kepler. Para ello considera un planeta de masa m que se mueve en una órbita circular a una distancia r del Sol. Al ser la órbita circular, la fuerza gravitatoria coincidirá con la fuerza cetrípeta:

y si tienes en cuenta que , así como que , queda:

, o bien despejando , y la constante de la 3ª ley de Kepler es:

, donde puedes observar que depende de la masa del Sol, , pero no de la del planeta.

 

Si consideras los satélites que giran alrededor de un planeta, el valor de k depende de la masa del planeta pero no de la de cada satélite.

Icono de iDevice Ejemplo o ejercicio resuelto
Calcula la masa de Marte, si sabes que uno de su satélite (Deimos) describe una órbita de 23460 km de radio cada 30,3 horas.
Animación 5. Maksim. Creative commons
La constante de gravitación universal = 6,67·10-11 N·m2/kg2

¿Cuál es la velocidad de Deimos en su órbita respecto de Marte?

Si Fobos, el otro satélite de Marte, describe una órbita de 9377 km de radio, ¿cuánto tarda en dar una vuelta alrededor del planeta?

Icono de iDevice AV - Reflexión
Imagen 19.NASA. Dominio públic

Tritón es uno de los satélites de Neptuno y fué descubierto en 1846, pocos días después que el planeta. El radio de su órbita es de 3,55·108 m, su período 141,1 horas y la constante de gravitación universal 6,67·10-11 N·m2/kg2. Calcula:

a) La masa de Neptuno.

b) La velocidad de Tritón con respecto a Neptuno.

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El achatamiento de la Tierra

La medida mas antigua que conocemos de la esfericidad de la Tierra fue realizada por Eratóstenes (siglo III a.C.) midiendo el ángulo de la sombra de una estaca en Siena y en Alejandría.

Imagen 20. BUCM. Uso educativo

El abad Jean Picard, uno de los fundadores de la Académie des sciences de Paris, en el siglo XVII, midió un grado del meridiano que pasa por París y obtuvo así el radio de la Tierra (valor que utilizó Newton).

En este siglo se estableció una controversia sobre si el planeta estaba achatado por los polos, como defendía Newton, o por el ecuador como defendía Descartes. La Academia de Ciencias de París, bajo el impulso de Voltaire, organizó en 1734 dos expediciones, una a Quito (Ecuador) y otra a Laponia (Finlandia), para medir allí el grado de meridiano. De estas medidas se concluyó que la Tierra está achatada por los polos.

En la expedición a Quito participaron los marinos y científicos españoles Jorge Juan y Antonio de Ulloa.

Jorge Juan introdujo en España el Cálculo Diferencial de Isaac Newton y fundó en 1757 el Real Observatorio de la Armada en San Fernando (Cadiz). Desde este observatorio se difunde la hora legal oficial y además es el depositario de las medidas métricas oficiales.