1.2 Conservación del momento angular

Hasta ahora el momento angular no parece tener ninguna aplicación práctica más allá de la resolución de problemas simples, pero ten en cuenta que, en la vida real, los problemas que aparecen son muy complejos y es necesario encontrar herramientas que permitan su simplificación.


Video 1. Youtube Uso educativo

Observa atentamente el siguiente video de una patinadora artística efectuando una serie de giros. Fíjate que la velocidad de los giros no es la misma durante todo su movimiento, pese a que al encontrarse sobre una superficie prácticamente sin rozamiento no actúa ninguna fuerza externa. ¿A qué se deben estos cambios? ¿De qué depende la velocidad de giro? Estas son preguntas que pueden resolverse de una forma sencilla mediante la física.

Tal y como ocurría en el caso del momento lineal, que adquiría su razón de ser en su teorema de conservación que permitía resolver de una forma sencilla, entre otros, gran parte de los problemas de choques, resultará de utilidad estudiar cómo es la evolución temporal del momento angular e intentar obtener algún teorema análogo que simplifique la resolución de problemas en los que el móvil no sigue una trayectoria rectilínea. Para ello se derivará el momento angular respecto al tiempo:

Donde se ha tenido en cuenta la regla de la derivada de un producto de vectores.

Ahora, si sustituyes el momento lineal por su definición () puede desarrollarse la expresión anterior. Para facilitar la comprensión se calcula cada término por separado:

1) ;Observa que este término es nulo ya que el producto vectorial de dos vectores paralelos siempre es 0.

2) ; En este caso se ha tenido en cuenta la definición de aceleración y la 2ª Ley de Newton.

Con estos resultados ya es posible expresar la variación con el tiempo del momento angular:

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Se define el momento de una fuerza () respecto a un punto O como el producto vectorial entre la fuerza y el vector de posición del punto de aplicación de la misma respecto a O:

Según esta definición, puede enunciarse el Teorema del momento angular, que dice: "La variación del momento angular de un sistema material respecto al tiempo es igual al momento total de las fuerzas que sobre él actúan"



Animación 2. Cleonis Dominio público

Dicho de otra forma, cuando una fuerza externa actúa sobre un cuerpo, su momento angular varía.

Pero estábamos interesados en encontrar un principio de conservación del momento angular, esto es, encontrar las condiciones bajo las cuales la variación temporal del mismo es igual a cero. Según se ha encontrado:

Para que este producto vectorial se anule tiene que darse, por lo menos, una de estas tres condiciones:

a) La fuerza se aplique directamente sobre el punto O (), de forma que su momento será nulo.

b) La fuerza total que actúa sobre el cuerpo es nula (). En tal caso, según la primera ley de Newton el movimiento de cuerpo no sufriría variación y por tanto el momento angular permanece constante.

c) Los vectores y tengan la misma dirección (sean paralelos). Este es el caso de gran número de fuerzas, concretamente de las denominadas fuerzas centrales, que siempre están dirigidas hacia el mismo punto que suele escogerse como punto de referencia para el cálculo del momento angular, ya que cuando son de módulo constante originan movimientos circulares. Este es el caso de las fuerzas de origen gravitatorio que estás estudiando en esta unidad.

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El principio de conservación del momento angular afirma que el momento angular de un cuerpo permanece constante si sobre él no actúan fuerzas o si las fuerzas que lo hacen son de tipo central.


Esto es lo que le ocurre a la patinadora, al no haber fuerzas externas el momento angular permanece constante y, por tanto, cuanto menor es el radio, más rápido gira. Esto tiene que ver con el denominado momento de inercia de un cuerpo.

Cuando el momento angular se conserva, la constancia del momento angular implica dos consecuencias muy interesantes:

1) La trayectoria de la partícula debe ser plana, pues si , aparte de su módulo también debe serlo su dirección y su sentido, y por lo tanto el plano determinado por y por , perpendicular a también debe serlo.

2) La velocidad areolar de la partícula (área barrida por el vector posición por unidad de tiempo) también es constante.

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Imagen 10. J. Ruiz Felipe Uso educativo

Una esfera de 500 g de masa está atada a una cuerda de masa despreciable de 1 m de longitud y gira con una velocidad de 4 m·s-1 en un plano horizontal en torno a un punto O, tal y como se indica en la figura. En un determinado momento, la cuerda comienza a enrollarse alrededor de dicho punto, disminuyendo con ello su longitud y por tanto el radio de giro.

a) Calcula el momento angular inicial respecto al punto O.

b) El valor de la velocidad lineal (v) cuando se haya enrollado el 80% de la cuerda.

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Imagen 11. ESA Dominio público

El cometa más famoso es el Halley, que completa su órbita en torno al Sol cada 76 años. En su regreso de 1843 pasó a tan solo 800000 kilómetros del centro del Sol. La velocidad a la que debió pasar por esa zona estaba en torno a los 550 km/s.

Determina la velocidad con la que se desplaza el cometa Halley en su perihelio, cuando se encuentra a 85,5 millones de km del Sol.