2. Dioptrio esférico

El sistema óptico más simple que puedes encontrar es el denominado dioptrio. El dioptrio es un concepto básico a la hora de formular los principios básicos de la óptica geométrica.

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Se denomina dioptrio al sistema óptico formado por una sola superficie que separa dos medios isótropos y homogéneos con distinto índice de refracción. Puede ser plano o esférico según esta superficie sea plana o en forma esférica.

Si observas cualquier instrumento óptico podrás comprobar que la mayor parte de los sistemas ópticos que lo constituyen son esféricos, por ello resulta de especial interés el estudio del denominado dioptrio esférico que, según la definición dada anteriormente no es sino una superficie esférica que separa dos medios de distinto índice de refracción n1 y n2.

En la siguiente imagen se muestra un dioptrio esférico de radio R, en el que C es el centro de curvatura, junto con la construcción correspondiente a un rayo luminoso que parte de un punto A situado en el eje óptico del sistema a una distancia s del vértice del dioptrio indicado como O:

Imagen 9. Elaboración propia

Como verás, este rayo incide en el dioptrio en el punto I, a una altura h del eje óptico. Observa que la imagen se forma en el punto A', donde convergen los rayos, situado a una distancia s' del vértice del dioptrio.

Con esta información, trabajando en la denominada zona paraxial, que es aquella en la que los rayos forman un ángulo con el eje óptico () menor de 10º, de forma que los valores del seno y la tangente coincidan con el valor del ángulo (), es posible calcular la ecuación que rige el comportamiento de los rayos luminosos al atravesar un dioptrio esférico:

Aplicando la Ley de Snell que estudiaste en el tema anterior al rayo incidente:


Al trabajar en zona paraxial, aquí también será posible aproximar el seno del ángulo por su valor, y por lo tanto

Ahora interesa reducir el número de variables, relacionando los ángulos de incidencia con los ángulos de entrada y salida del rayo. Como la suma de los ángulos de un triángulo en geometría plana deben sumar dos rectos:

  • En el caso del ángulo de incidencia , si observas el triángulo APC:
  • En el caso del ángulo de incidencia , si observas el triángulo CPA':

Sustituyendo estos valores en la Ley de Snell antes calculada:



Los valores de estos ángulos pueden calcularse: Si observas la imagen, para los triángulos APH, CPH y A'PH, si se trabaja en zona paraxial se cumple:

Donde se ha tenido en cuenta que, según el convenio de signos introducido en el punto 1.1 el valor de s se mide a partir del vértice óptico y, por lo tanto, es negativo. Sustituyendo estos valores en la expresión anterior:


Dividiendo por ambos términos, llegamos al conocido como invariante de Abbe , que reagrupado da lugar a una de las ecuaciones más importantes de la óptica geométrica:

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Ecuación del dioptrio esférico

Para todo rayo luminoso en el que pueda aplicarse la aproximación paraxial:

 



Icono de iDevice Ejemplo o ejercicio resuelto

Dado un dioptrio convexo como el de la figura, de radio 50 cm que separa dos medios de índices de refracción n1 = 1 y n2 = 1.5

  Imagen 10. Elaboración propia
Calcula la posición de la imagen de un punto situado a 2 m a la izquierda del vértice del dioptrio.

¿Y si el dioptrio fuera cóncavo en vez de convexo?

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Imagen 12. Catwomancristi CC

Desde el interior de una pecera esférica de 50 cm de diámetro, un pez observa un libro que se encuentra a 20 cm de la superficie de la pecera.

Si el índice de refracción del agua es de 1.33, ¿A qué distancia verá el pez el libro?