3. Dinámica del m.a.s.: El oscilador armónico


Animación 9. David-Harrisson. Permiso Uso educativo

Acabas de ver cómo todo m.a.s. presenta una aceleración directamente proporcional a la posición pero de signo contrario (a = -ω2·x). Además, el curso pasado estudiaste las leyes de Newton, fundamento de la mecánica. Puedes recordar que la segunda ley de Newton relacionaba la acción de una fuerza sobre un cuerpo con el cambio de su aceleración: F = m·a.

Una de las consecuencias de la acción de las fuerzas sobre la materia es que puede llegar a deformarla. Entre los distintos comportamientos destacan aquellos cuerpos que, aún deformándose, recuperan la forma inicial cuando la fuerza deja de actuar; estos cuerpos reciben el nombre de elásticos. La deformación de estos cuerpos obedece a la conocida como Ley de Hooke, donde existe una fuerza restauradora F que es directamente proporcional a su elongación:


El oscilador armónico es el ejemplo más simple de sistema físico que describe un movimiento vibratorio armónico simple, y corresponde a un sistema sobre el que actúa únicamente una fuerza restauradora que obedece a la ley de Hooke.

La ecuación que describe el movimiento de este sistema puede encontrarse de una forma muy sencilla, teniendo en cuenta que únicamente interesa la dirección en la que se produce el movimiento. Para ella:


Como el movimiento de este sistema es del tipo armónico simple, es posible sustituir el valor de la aceleración por el que ya se obtuvo en el punto anterior (a = -ω2·x), resultando

donde sustituye al producto , ya que la masa del oscilador y la pulsación son constantes. Por tanto, y la frecuencia angular es:

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El movimiento de un oscilador armónico está determinado por su frecuencia angular o pulsación (ω) que viene dada por la expresión:


Si recuerdas la expresión del periodo en función de la frecuencia angular (T = 2·π/ω), puede obtenerse el periodo de un oscilador armónico:

Y como la frecuencia es la inversa del periodo, es inmediato encontrar que:

 

Observa cómo el periodo de oscilación depende únicamente de la masa del oscilador y de la constante elástica del muelle, siendo independiente de la amplitud de la misma.


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Imagen 20. Elaboración propia

Un oscilador armónico está formado por un bloque de 500 g unido a un muelle. Cuando oscila con una amplitud de 35 cm, repite su movimiento cada 0,5 s. Calcula: el período, la frecuencia, la pulsación, la constante elástica del resorte, la velocidad máxima del bloque y la fuerza máxima ejercida sobre el bloque.


AV - Pregunta de Selección Múltiple

Un oscilador armónico está formado por un cuerpo de masa m unido al extremo de un resorte ideal de constante elástica k = 20 N/m. El cuerpo oscila horizontalmente sin rozamiento. Su ecuación de movimiento, tomando el origen en su posición de equilibrio, es:

x = 0,1 sin (11,5·t + π/2)

¿Qué afirmaciones son ciertas?

El cuerpo tiene velocidad cero en el instante inicial.
La velocidad máxima del cuerpo es 11,5 m/s
La masa del cuerpo es 151 g
La aceleración máxima del cuerpo es 115 m/s2
La fuerza máxima con que tira el muelle del cuerpo es 20 N



Imagen 21. Elaboración propia

En un oscilador armónico vertical (cuyo movimiento se produce en el eje y), actúan dos fuerzas: por una parte, la fuerza recuperadora Fr que verifica la ley de Hooke () y por otro lado la fuerza debida al peso () :

 

En la posición de equilibrio () el oscilador permanecerá en reposo, por lo que y se cumplirá que la fuerza recuperadora se igualará con la fuerza peso:

En el caso general, puede escribirse, sustituyendo el valor de F por su expresión general, teniendo en cuenta que la posición (y) es la diferencia entre las longitudes actual () y de equilibrio () cuyo valor se acaba de calcular:

De donde se obtiene la expresión para la frecuencia angular del oscilador armónico:

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Animación 10. Oleg Alexandrov
Dominio público

Una masa de 0,1 kg se une al extremo inferior de un muelle vertical y se le hace vibrar. Si la velocidad máxima de la masa es de 15 cm/s y el periodo es de 0.5 s, ¿cuál es la constante elástica del muelle?¿Cuál es la frecuencia del movimiento de la masa?¿Cuál es la fuerza máxima que ejerce el muelle sobre la masa?


Icono de iDevice AV - Reflexión

Un resorte vertical tiene colgada de su extremo una masa de 0,25 kg. Al añadir una masa extra de 50 g el muelle se alarga 4,9 cm. Estiras de la masa hacia abajo y comienza a vibrar con una amplitud de 10 cm. ¿Cuál es el período de la oscilación?¿Cuál es la velocidad y aceleración máximas de la masa?