1.5. El método de Gauss

Lo último que has visto en el apartado anterior es como, haciendo varios ceros en una línea de un determinante, es más fácil desarrollarlo. En este último apartado lo que vamos a ver es una generalización del método anterior y que, debido a las operaciones que vamos a realizar, es conocido por Método de Gauss para el cálculo de un determinante. Como podrás ver en los dos siguientes temas de la Unidad, este método se puede utilizar en muchas ocasiones para resolver distintos problemas, hasta para hallar la solución de un sistema de ecuaciones.
Icono IDevice Para saber más

El nombre de Carl Friedrich Gauss posiblemente no sea desconocido para tí. Ya el curso pasado verías, en la parte de probabilidad, la distribución Normal o de Gauss. Y ya que este año vamos a citarlo en varias ocasiones, es justo que comencemos conociendo algo de su vida y obra. En el siguiente vídeo conocerás como, a los 10 años, ya asombró a su maestro de matemáticas y porqué recibió el título de Príncipe de los Matemáticos.

Dado que en Youtube la extensión de los vídeos es limitada, el programa dedicado a Gauss está dividido en tres partes, las dos siguientes más cortas que esta que tienes aquí. Si te interesa conocer más sobre él puedes hacerlo en los siguientes enlaces.

Gauss 2ª parte Gauss 3ª parte


El método de Gauss para hallar un determinante de cualquier orden, es una generalización del método que vimos al final del apartado anterior para desarrollar un determinante por una línea en la que se han hecho previamente ceros todos los elementos de una línea menos uno, que es por el que se desarrolla.

El objetivo del método es conseguir triangularizar la matriz que está dentro del determinante pues, de esa forma, es muy fácil hallar su valor, pues el determinante de una matriz cuadrada triangular (da igual que sea superior o inferior) es igual al producto de los elementos de la diagonal principal (propiedad 10).

Las operaciones que podemos realizar con las líneas del determinante son:
  1. Cambiar entre sí dos líneas. En ese caso el determinante cambia de signo, por lo que el determinante resultante debemos multiplicarlo por -1.
  2. Multiplicar o dividir una línea por un número, pero en ese caso debemos hacer la operación contraria en el determinante, para que no cambie su valor.
  3. Sumarle a una fila o columna otra paralela multiplicada por cualquier número. En este caso el valor del determinante no varía.
  4. Lo usual es hacer ceros todos los elementos por debajo de la diagonal principal, utilizando, escalonadamente, los elementos de la diagonal principal, y por tanto su fila, para hacer ceros los que están debajo.

Weber & Gauss de Cherishing the
mundane on licencia Creative Commons

Estas operaciones las iremos aplicando para conseguir los ceros tal como hemos descrito en el apartado anterior. La única diferencia es que ahora escogeremos en primer lugar una línea que tenga un elemento no nulo en el primer lugar y luego haremos que se anulen todos los elementos del resto de las líneas que están en ese mismo lugar. Luego procederemos de igual manera con la segunda línea, pero ahora con el segundo elemento y así sucesivamente.

Veamos un ejemplo resuelto.

Icono de iDevice Ejemplo o ejercicio resuelto
Vamos a resolver el siguiente determinante por el método de Gauss.

Icono de iDevice AV - Reflexión
Solo queda que apliques lo aprendido. Para ello calcula el determinante:
Icono de iDevice AV - Reflexión
Averigua los valores de x e y para que valga 0 el determinante: