1.1 El concepto de rango

Ahora vamos a estudiar una característica propia de las matrices que va a permitir la simplificación de los cálculos y operaciones que debamos hacer al utilizarlas.

Retomemos el caso de la cadena de supermercados que gestiona Raimundo. En este caso podríamos estar hablando de decenas de supermercados y de cientos de productos de los que llevar la gestión en esos supermercados. Por tanto, la matriz con la que llevaría Raimundo la gestión sería enorme. Si consiguiéramos quitar algunas filas o columnas de esa matriz, serían cálculos que estaríamos ahorrando ante el tratamiento matemático de esa matriz.

Veamos un ejemplo que permita ilustrar lo que estamos contando. Supongamos que la matriz de pedido de tres tipos de leche en cinco de los supermercados de los que lleva la gestión es la siguiente:

En este caso observamos que se ha realizado un pedido de 15 unidades del tipo de leche 2 para el supermercado 4. Pero lo que a nosotros nos interesa es lo siguiente:

1.- El pedido de leche del supermercado 4 es el mismo que la suma de los pedidos de leche del supermercado 1, del supermercado 2 y del supermercado 3. Es decir:

2.- El pedido de leche del supermercado 5 es el mismo que el pedido del supermercado 1, menos la mitad del pedido del supermercado 2 mas el pedido del supermercado 3. Es decir:

De esta forma, si todos los cálculos que necesitemos realizar, en lugar de hacerlos con la matriz lo hacemos con la matriz que sólo tiene en cuenta los pedidos de leche de los supermercados 1, 2 y 3, es decir, la matriz:

simplificaremos los cálculos enormemente. Posteriormente, para saber lo que ocurre con el supermercado 4 solamente deberemos utilizar la combinación lineal que se ha indicado en el anterior punto 1 y para saber lo que ocurre con el supermercado 5 solamente deberemos utilizar la combinación lineal que se ha indicado en el anterior punto 2.

En el caso anterior, las filas 4 y 5 diremos que son linealmente dependientes de las tres primeras, mientras que las tres primeras filas son linealmente independientes. En el caso anterior, podemos decir que el rango de A es 3 y lo expresaremos de la siguiente forma:

Además, está claro que , por lo que observamos que, si a partir de una matriz cualquiera B obtenemos otra matriz C, añadiéndole a la matriz B filas o columnas que sean linealmente dependientes con las que ya tiene, el rango de las dos matrices es el mismo, es decir .

Icono IDevice Importante

Se llama rango de una matriz A al número de filas (o columnas) linealmente independientes que posee.

Se representa por rg (A).

En cualquier matriz el número de filas linealmente independientes coincide con el número de columnas linealmente independientes.

De la definición anterior tenemos que el rango de una matriz a lo sumo puede ser el número de filas o el número de columnas que tenga, el que sea más pequeño de los dos. Así, si una matriz es de orden 5x7, el rango de esa matriz a lo sumo puede ser 5, es decir, el rango podría ser 0, 1, 2, 3, 4 ó 5.


Pescadería. Imagen obtenida
del banco de imágenes del ITE.


Imagina en el caso de la gestión de la pescadería de los supermercados que lleva Raimundo, cómo podría ser de grande la matriz de pedidos del pescado para 15 supermercados. Inténtalo, solamente tienes que añadir a la matriz una columna por cada tipo de pescado que se venda… ¡¡Impresionante!!, por lo que quitando las filas y columnas que sean linealmente dependientes, simplificaríamos bastante los cálculos a realizar. De ahí la importancia de calcular el rango de una matriz y de obtener las filas y columnas que sean linealmente independientes.

En los siguientes puntos veremos dos formas de calcular el rango de una matriz. Ya verás que los dos son bastante sencillos.

AV - Pregunta de Selección Múltiple
Selecciona en cada caso la opción u opciones que consideres correctas.

Si el rango de la matriz es

1
2
3



Elige la matriz que tenga rango 1



Si observamos que . Entonces se dice que:
y son linealmente independientes
y son linealmente dependientes
y no son proporcionales



Dada la matriz si le añadimos la fila obteniendo la matriz
En este caso tenemos que es mayor que
En este caso tenemos que es menor que
Para calcular el rango de la matriz B bastaría con calcular el rango de la matriz A
En este caso tenemos que el rango de la matriz B puede que sea el mismo que el rango de la matriz A
En este caso tenemos que
En este caso tenemos que



Si tenemos una matriz D de orden 3x6, selecciona la opción o las opciones que consideres correctas:
El rango de la matriz D podría ser 2
El rango de la matriz D a lo sumo podría ser 6
El rango de la matriz D es 3
El rango de la matriz D podría ser 1