2.2. Concepto de matriz inversa

Observa los precios de tres prendas de vestir que hemos seleccionado en unos almacenes:

El precio de cada prenda varía si es el precio normal, el precio en rebajas o el precio super-rebajado. Así observamos un cuadro de precios como el que sigue:

 


Si en el centro comercial las ventas de cada una de las prendas en cada uno de los trimestres fueron las que se recogen en el siguiente cuadro:

Para conocer la cantidad de dinero que ganaríamos en cada trimestre dependiendo de si ese trimestre los precios son los normales, es un trimestre de rebajas o es un trimestre de super-rebajas, solamente necesitaríamos multiplicar la primera matriz por la segunda:

Según lo anterior, tendríamos que la cantidad de dinero ganada por trimestre dependiendo de si ese trimestre era normal, de rebajas o de super-rebajas es:

 

De esta forma, si el centro comercial hubiera estado de rebajas el segundo trimestre habría ganado 657€ con la venta de chalecos, camisas y pantalones.

En este caso conocíamos la matriz de precios A y la matriz de ventas por trimestre B y hemos podido calcular con una simple operación la matriz de ganacias M. Pero, ¿cómo podríamos calcular la matriz B si conociéramos la matriz A y la matriz M? Para responder a esta pregunta, imagina que tuviéramos una matriz F de forma que al multiplicar F por A resultara la matriz identidad. En ese caso tendríamos:
 

Si tuviésemos la matriz F ya lo tendríamos solucionado.

Centro comercial
Centro comercial. Imagen obtenida
del banco de imágenes del ITE.
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Dada una matriz cualquiera A llamamos inversa de A a otra matriz que denotaremos A-1 que cumpla que:

donde I es la matriz identidad.

Dos matrices distintas no pueden ser inversas de la matriz A. Es decir, la inversa de la matriz A es única. No lo vamos a demostrar aquí, pero si sientes curiosidad por ver la demostración puedes seguir este enlace.

Inverse NYC 02 de Fabrice de Nola
con licencia Creative Commons


De la igualdad anterior podemos deducir que si la matriz A tiene orden nxm y la matriz A-1 tiene de orden pxq:

  1. Como debemos multiplicar A por A-1 entonces m = p.
  2. Como debemos multiplicar A-1 por A entonces q = n.
  3. Como el resultado de ambos productos debe ser la matriz identidad que es una matriz cuadrada entonces m = p = n = q, por tanto, para que una matriz tenga matriz inversa, debe ser una matriz cuadrada.
  4. Como el determinante de un producto de matrices es igual que el producto de los determinantes de ambas matrices entonces, el determinante de la matriz A no puedes ser cero ya que el determinante de la matriz identidad es 1.
Ojo. Imagen tomada del
banco de imágenes del ITE.
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Propiedades de la matriz inversa

Si las matrices A y B tienen inversa:

  • (A · B)=B–1 · A–1
  • (A–1)–1 = A
  • (AT)–1 = (A–1)T

Como consecuencia de la última propiedad se tiene que la inversa de una matriz simétrica es también una matriz simétrica.

Inverse de ogomogo con licencia Creative Commons

AV - Pregunta de Selección Múltiple

Comprueba ahora lo que has aprendido marcando las opciones que sean correctas.

Dada una matriz A sabemos que:

1.- Para que tenga inversa debe ser cuadrada.
2.- Si tiene orden 3x2, la matriz inversa tiene orden 2x3
3.- El determinante de la matriz debe ser distinto de cero.
4.-



Icono de iDevice AV - Reflexión

Responde a las siguientes cuestiones:

  1. Comprueba que la matriz es la inversa de la matriz
  2. Demuestra que la matriz no tiene inversa.
  3. Dada la matriz , comprueba que A3 = I2 y haalla La inversa de A, A–1.