1. Punto a punto

Punto a punto
 Imagen de YamilGonzales con licencia Creative Commons

A nuestros amigos de la empresa TisBet Survey les ha encargado el Ayuntamiento de su ciudad, un estudio sobre el Cociente Intelectual (C.I.) medio de los alumnos y alumnas del IES "Benito V.", ya que están elaborando un proyecto de atención a alumnado con altas capacidades.

Como no conocen  la media del C.I. del alumnado, toman una muestra aleatoria con alumnos y alumnas del instituto, a través de la cual calcularán una aproximación de la media.

Esta aproximación es lo que llamamos estimación.

Cuando tenemos que hacer el estudio de una determinada característica de una población y no se puede realizar el estudio a todos los individuos que la componen, bien porque son muchos y es imposible realizar el estudio para todos o porque económicamente supone un gasto excesivo. En este caso, como vimos en la unidad anterior, seleccionamos la muestra y realizamos el estudio para los individuos escogidos.

¿Qué ocurre una vez calculado el C.I. medio de la muestra?

Supongamos que los trabajadores de TisBet Survey han seleccionado una muestra de 100 alumnos y alumnas y han obtenido que la media muestral es de 106 ().

Parece lógico estimar que la media μ  de todo el alumnado del instituto será aproximadamente igual que la media de la muestra, 106. El hecho de decir que el valor de μ es aproximadamente , significa que estamos haciendo una estimación puntual.

El resultado que hemos obtenido lo hemos generalizado a toda la población, esto es lo que llamamos inferir los resultados de la muestra a la población.

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Una estimación puntual del valor de un parámetro poblacional desconocido, como puede ser la media μ o la desviación típica σ, es un número que se utiliza para aproximar el verdadero valor de dicho parámetro poblacional.

Para calcular ese número, tomaremos una muestra de la población y calcularemos el estimador muestral asociado al parámetro poblacional. Por ejemplo el estimador de la media poblacional μ, es la media muestral .

El valor de este estimador muestral para una muestra concreta será la estimación puntual del parámetro poblacional.


Por lo tanto para estimar un parámetro tenemos que saber cuál es el mejor estimador muestral de ese parámetro.

En el tema anterior hemos visto que el estimador del parámetro p de una distribución binomial es , la proporción muestral.

En este tema vamos a usar como estimadores muestrales de la media μ y la diferencia de las medias μ12 de una población a los estadísticos y , respectivamente.

¿Cómo sabemos que son los mejores? Porque tienen unas propiedades determinadas que tiene que tener todo estadístico para ser el que mejor aproxima al verdadero valor de la variable.

Como vimos en la unidad anterior los estadísticos son variables aleatorias (cuando realizo el estudio del C.I. medio de una muestra, no sé que valor va a salir) y, como tales, tienen sus propios parámetros. Por lo tanto, podemos hablar de la media del estadístico .

Pues bien, cuando la media del estadístico coincide con el verdadero valor del parámetro diremos que el estadístico es centrado o insesgado.

Eso le ocurre a los estadísticos anteriores. Pero tenemos un problema con la varianza y es que la varianza muestral no coincide con el valor de σ. Por ello el estadístico insesgado de σ2 es:

 

llamado cuasivarianza muestral. Observa que es muy parecido a la varianza muestral, la diferencia es que está dividido por n-1 en vez de n.

Como consecuencia de este resultado la estimación de la desviación típica es la raíz cuadrada de ese valor, es decir,

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La diferencia entre el verdadero valor del parámetro que se estima y la media del estimador, mide el error cometido al utilizar el estimador y se denomina sesgo.

Un estadístico es insesgado cuando la media de su distribución muestral asociada coincide con la media de la población.

Esto ocurre, por ejemplo, con el estimador ya que su media muestral coincide con μ. En el caso de la varianza σ2, el estimador insesgado es la cuasivarianza muestral .


Veamos una tabla que nos aclare un poco todo este lío:

 

 Parámetro poblacional
Estimador muestral o Estadístico
Estimación puntual (Valor concreto)
 Media μ
   
 Varianza σ2
   

 

Icono de iDevice Ejemplo o ejercicio resuelto
Para medir a los alumnos
Imagen de tiffa 130 con licencia Creative Commons

La empresa TisBet Survey quiere estimar la media de estatura de los alumnos y alumnas de 1º de ESO en el IES "Benito V."

Para ello, escoge una muestra al azar de 10 alumnos y los mide. Los resultados en cm fueron:

160, 170, 170, 150, 160, 180, 160, 170, 130, 150.

Haz una estimación puntual de la media y la varianza.


Icono de iDevice AV - Actividad de Espacios en Blanco

Rellena los espacios en blanco con las siguientes palabras:

Parámetro, Estadístico, Estimador y Estimación.

puntual : Es el estadístico que se usa para estimar un parámetro poblacional. Por lo tanto, es una variable aleatoria en el muestreo que tiene su correspondiente distribución muestral.

: Es un valor numérico que describe una característica de la población.

puntual : Es el valor numérico que toma el estimador puntual para una muestra determinada.

: Es un valor numérico que describe una característica de la muestra.

 

  

Icono IDevice Para saber más

Cuando dos estimadores de un parámetro tengan la misma media, el que tenga menor varianza será el estimador que escojamos. La varianza de un estimador muestral nos va a medir la eficiencia de ese estadístico. Cuando en un estimador la varianza es mínima, decimos que el estimador es eficiente.

La desviación típica del estimador se va a llamar error estándar. En el caso del estimador , su error estándar es .

Cuanto mayor sea el tamaño de la muestra n, menor será la varianza del estimador y , por tanto, mejor serán nuestras estimaciones.