1. Crecimiento y decrecimiento

4. Carretera de montaña. Creative Commons

El perfil de una carretera viene dado en un tramo de montaña por la función . ¿Qué señal de tráfico habría que colocar en , estando medido en metros?

En el primer tema de la unidad anterior estudiaste las características globales de las funciones y en el segundo apartado se definía cuándo una función era creciente o decreciente. Repásalo.

Ahora nos interesa saber cuándo una función es creciente o decreciente en un punto y cómo podemos medir ese crecimiento o decrecimiento.

Al acabar este apartado podrás dar respuesta al problema que te hemos planteado.

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Diremos que una función es creciente en un punto cuando exista un entorno de tal que:

si y si


En la ventana dinámica que tienes a continuación mueve el punto azul y observa que siempre

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Si f es derivable, entonces
 
Si un función es derivable y creciente en un punto , entonces
 
Para el decrecimiento de una función haremos  razonamientos análogos:
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Diremos que una función es decreciente en un punto cuando exista un entorno de tal que:

si y si


En la ventana dinámica que tienes a continuación mueve el punto azul y observa que siempre

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Si f es derivable, entonces
 
Si un función es derivable y decreciente en un punto , entonces
 

En el tema 3 definimos la derivada en un punto y vimos su interpretación geométrica: ese número coincide con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto.

Mueve la abscisa del punto P con el deslizador en color verde que tienes sobre la recta real y observa el valor de la pendiente de la recta tangente.

También puedes animar el gráfico pulsando el botón y cuando quieras parar el botón .

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Rellena los espacios en blanco.
  • En x = -1 la función es y la pendiente de la recta tangente es .
  • En x = 0 la función ni ni y la pendiente de la recta tangente es .
  • En x = 2 la función es y la derivada en ese punto es .
  • En x = 3 la función ni crece ni decrece y la en ese punto es .
  • En x = 4 la función es y la de la recta tangente es .
  • En x = 5 la función ni ni y la pendiente de la es .
  • A partir del punto x = 5 la función es y la derivada en esos puntos es .
  

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Si , la función es creciente en
Si , la función es decreciente en

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Resuelve el problema inicial rellenando los espacios en blanco.

En x = 20 la derivada de la función tiene un valor de (dos decimales), lo cual indica que la función es . La pendiente de la recta tangente en ese punto es , por tanto, la señal de tráfico debería indicar que la carretera en ese punto tiene una pendiente del %.
  

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