2.1. Cálculo de máximos y mínimos
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| 7. Máximo. Wikimedia Commons |
En el apartado anterior hemos podido comprobar cómo, si la función era derivable, en los máximos y mínimos la tangente era horizontal, su pendiente nula y, por tanto, la derivada también nula. Hay un importante teorema que lo demuestra:
Importante
es derivable en 
y tiene un extremo relativo (máximo o mínimo) en , entonces 
.
¿Es cierto el recíproco? Es decir, ¿siempre que la derivada sea nula en un punto habrá un máximo o mínimo relativo?
La respuesta la puedes obtener en el ejemplo que te presentábamos al final del apartado 1:
En 
la función presenta un máximo relativo y en 
hay un mínimo.
Sin embargo, en 
no hay ni máximo ni mínimo, la función crece para 
y sigue creciendo para 
. En este caso se dice que la función presenta un punto de inflexión.
Concluimos que:
Importante
Si , entonces, tiene un punto singular en , pero no podemos determinar si es máximo, mínimo o ninguna de las dos cosas. Para averiguarlo aplicaremos el siguiente criterio:
- Si
a la izquierda de 
y 
a la derecha de , la función pasa en de creciente a decreciente, entonces es un máximo relativo. - Si a la izquierda de y a la derecha de , la función pasa en de decreciente a creciente, entonces es un mínimo relativo.
- Si o si a ambos lados de , entonces es un punto de inflexión.
AV - Pregunta Verdadero-Falso
, di si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones
tiene máximo o mínimo en
Verdadero Falso
es horizontal.
Verdadero Falso
Verdadero Falso
Ejemplo o ejercicio resuelto
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| 8. Puntos de inflexión. Creative Commons |
Siguiendo el criterio anterior, vamos a determinar los extremos relativos de la función polinómica:
- En primer lugar hallamos los puntos singulares, es decir, los puntos que anulan la función derivada:
las soluciones de la ecuación son:
, que son los posibles máximos o mínimos relativos
- Hacemos la tabla con los intervalos y estudiamos el crecimiento y decrecimiento de la función:
| (-∞,1) | (1,2) | (2,+∞) |
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+ | + |
- |
| |
crece | crece |
decrece |
- A la izquierda de
la función crece y a la derecha la función sigue creciendo, por tanto, en ese punto no hay ni máximo ni mínimo, hay un punto de inflexión.
Sin embargo, a la izquierda de
la función es creciente y a la derecha decreciente, por tanto, en ese punto la función presenta un máximo relativo.
Ejemplo o ejercicio resuelto
En este segundo ejercicio trabajaremos con una función racional:
- Hallamos el dominio de la función:
, por tanto en 1 y -1 la función no es continua. - Hallamos los puntos singulares:
cuando y 
- Estudiamos el crecimiento y decrecimiento de la función:
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| |
+ |
- |
- |
- |
- |
+ |
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creciente | decreciente |
decreciente | decreciente | decreciente | crecient |
- En
la función tiene un máximo local - En
la función no es continua - En la función tiene un punto de inflexión
- En la función no es continua
- En
la función tiene un mínimo local
AV - Reflexión
En las funciones siguientes, halla los puntos singulares y determina si son máximos o mínimos relativos:
