3. Tangente y normal a una curva

9. Casi tangente. Creative Commons

Ya sabemos que, geométricamente, la derivada es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto .

También sabemos que la ecuación de la recta tangente en el punto es:

y la de la recta normal

En los ejercicios que vamos a desarrollar podrás apreciar la importancia de este concepto y la gran variedad de situaciones en las que se puede aplicar.

Icono de iDevice Ejemplo o ejercicio resuelto
1. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva , en .

Hallamos la pendiente de la recta tangente :

Hallamos la ordenada del punto de tangencia:

La ecuación de la recta tangente es:

y la de la normal

2. Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva cuya pendiente sea igual a 2.

No conocemos el punto de tangencia pero sabemos que :

La ordenada del punto de tangencia es

La ecuación de la recta tangente es:

y la de la normal

3. Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva que sean paralelas a la recta .

La pendiente de la recta es 6, el coeficiente de cuando la está despejada:

Las ecuaciones de las rectas tangentes son: y
las normales son

 


Icono de iDevice AV - Reflexión
Con ayuda del applet que te proporcionamos, resuelve gráficamente los siguientes ejercicios. Después haz los cálculos para resolverlos analíticamente siguiendo el método de los ejercicios resueltos anteriores.

1. Dada la función , determina la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el punto .

  • Mueve los deslizadores verdes m y n hasta encontrar la recta tangente en el punto que se indica.

2. Dada la función , determina los puntos en los que la función tiene rectas tangentes paralelas a la bisectriz del segundo cuadrante . Halla las ecuaciones de esas rectas tangentes.

  • En la barra de Entrada escribe el nombre de la función f(x)=x3-6x2+8x+2
  • Mueve los deslizadores verdes m y n para visualizar la recta y=-x o las tangentes
  • Mueve el punto rojo del eje de abscisas para situar los puntos de tangencia
Please install Java 1.4 (or later) to use this page.
Icono IDevice Para saber más
Las funciones trascendentes (logarítmicas, exponenciales, trigonométricas, etc.) presentan una clara dificultad cuando tratamos de calcular la imagen de un valor dado, que no puede calcularse con exactitud (con la excepción de algunos puntos notables).

La figura contigua representa la gráfica de la función y la de su recta tangente en el punto .

 



En un entorno del punto , si sustituimos los valores de la función por los de la recta tangente tendremos una aproximación al valor de la primera. Es decir, podemos sustituir por la imagen del punto en la función de primer grado que da la tangente.

En este caso, dado que , la ecuación de la recta tangente en el punto es , es decir,

La recta tangente a una curva en un punto P es, de todas las rectas que pasan por P, la que más se aproxima a la curva en un entorno de P.

Ejemplo: Al calentarse una bola de un rodamiento de 1 cm de diámetro, se ha dilatado y su diámetro mide ahora 1,002 cm. Halla el volumen de la bola dilatada.

El volumen de una esfera es . En lugar de hallar el volumen para cm, podemos hacer una aproximación hallando el valor que tomará la recta tangente para ese valor.

La recta tangente es , que para , toma un valor de .

Podemos decir que la bola dilatada tiene un volumen de cm3 .


« Anterior | Siguiente »