1.2. Cálculo del rango

Vamos empezar aprendiendo a utilizar una técnica para calcular el rango de una matriz en la que usaremos una herramienta que ya conoces: los determinantes.

Recuerda que para calcular el determinante de una matriz se utilizaban algunos de los menores que la componían. Ahora vamos a hacer algo parecido. No debes perder de vista que, a la hora de calcular el rango de una matriz, debemos indicar el número de filas o el número de columnas (es indiferente, pues el resultado debe ser el mismo) que sean linealmente independientes.

Para aprender a aplicar esta técnica de cálculo del rango de una matriz lo haremos a través de un ejemplo. Sabemos que si el determinante de una matriz es cero, sus filas son linealmente dependientes y sus columnas son linealmente dependientes, por lo que vamos a intentar buscar la submatriz de mayor orden cuyo determinante sea distinto de cero y esas filas y columnas que contenga serán linealmente independientes. Observa bien el proceso.

Icono de iDevice Ejemplo o ejercicio resuelto
4. Carga de camiones. Imagen obtenida
del banco de imágenes del ITE.

Una empresa nacional de transporte de mercancías envía camiones desde Madrid a distintos puntos de la geografía española a lo largo de la semana. Nos hemos fijado en varias de esas localidades: Sevilla, Valladolid, Barcelona, Bilbao y Badajoz y hemos recogido en una tabla el número de camiones que envía a cada una de ellas durante la semana, obteniendo la siguiente tabla:

Como podemos observar, la matriz que nos resulta es de orden 5x6. Vamos a calcular el rango de dicha matriz:


El proceso cuyodesarrollo hemos visto en el ejemplo anterior se conoce como orlar un menor; Supondremos que alguno de los elementos de la matriz es distinto de 0, ya que en caso contrario el proceso no tendría sentido ya que el rango de la matriz sería 0. Los pasos a dar son:
  1. Se elige un menor de orden 2, que sea distinto de 0. Si no existe, el rango de la matriz es 1; en caso contrario se pasa al siguiente paso.
  2. Se va orlando el menor que hemos hallado en el paso anterior, añadiendo las partes de las filas y columnas aún no empleadas, hasta obtener un menor de orden 3 no nulo. Si no es posible encontrarlo, el rango de la matriz es 2; en caso contrario se pasa al siguiente paso.
  3. Se continúa el proceso anterior con los ordenes siguientes, hasta que no es posible encontrar un menor distinto de cero de un orden dado. Entonces el rango de la matriz es el orden anterior en que si hemos conseguido un menor distinto de cero

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Con esta forma de cálculo, no solamente hallamos el rango de la matriz, sino que también observamos que podemos definirlo de otra manera:

El rango de una matriz es el orden más grande de la submatriz cuadrada con determinante distinto de cero, es decir, como el mayor orden de los menores distintos de cero.

 


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Seguimos adelante ahora con el supermercado de Raimundo. En la gestión que está realizando del mismo hemos seleccionado cuatro tablas relacionadas con la distribución de lacteos por distintos supermercados. En este caso solamente deseamos determinar el rango de esas matrices para que posteriormente nos aparezcan unos cálculos más simplificados a la hora de operar con ellas. Las matrices que hemos seleccionados son:

Con las anteriores matrices sabemos que el rango de la matriz A es , el rango de la matriz B es , el rango de la matriz C es y el rango de la matriz D es

 

  

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Calcula, usando los determinantes ,el rango de las siguientes matrices:

a) ; b) ; c) ; d)

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