Para que la matriz A tenga inversa debe cumplir dos cosas: que sea una matriz cuadrada y que su determinante sea distinto de cero. Vamos a intentar encontrar la inversa de la matriz A. Para ello vamos a partir de la propiedad que nos indican:

Así, por las propiedades de los determinantes tenemos:

Como el producto es uno, ninguno de los dos determinantes puede se cero, por lo que el determinante de A es distinto de cero, de lo que se deduce que la matriz A tiene inversa.

Es más, B = A – I podría ser la inversa de la matriz A, pero aún no lo sabemos, nos quedaría probar que . Comprobémoslo:

Vamos a resolverlo en dos partes. Observa la primera y mira si después sabes continuar.

Parte 1:

También observamos que: , por lo que el rango de A al menos es 2. Para que sea exactamente 2, todos los menores de orden 3 que obtengamos pivotando sobre el anterior deben ser cero. Pero el único menor que existe de orden 3 es la propia matriz A, por lo que debe cumplirse que |A| = 0. Así que desarrollamos:

Luego, para que el determinante sea cero tenemos que:

Dado que a y b tienen que ser números naturales, b debería ser múltiplo de 4, es decir, los valores de b podrían ser 4, 8, 12, 16…. (Ojo, el cero no sirve ya que no es un número natural).

Pero además, a y b deben ser menores de 10, por lo que b sólo podría tomar los valores 4 y 8. Pero si toma el valor 8, el valor de a es 10 que no es menor que 10.

Por tanto, para que el determinante de la matriz A sea igual a cero se debe cumplir que b = 0 y por tanto a = 5. Con estos valores el rango de la matriz A será 2.

La solución de este ejercicio la vamos a obtener en dos pasos. Inténtalo tu primero...

Parte 1:

Parte 2: