El rango depende de que sea 0 o no lo sea el elemento (3,3) de la última matriz:

Por tanto la fila F₃ es nula si a = 0 ó 1 y por tanto el rango es 2. En caso contrario, el rango es 3.

a) Primero calculamos la inversa de A:

Y ahora despejamos X:

b) Como |B|=0 , la matriz B no tiene inversa, así que no podemos proceder como en el apartado anterior. Sea :

a) Vamos calculando las potencias sucesivas de A:

Y a partir de esta potencia todas son 0₃.

b) Primero calculamos la matriz I₃ + A:

Evidentemente, su determinante es 1, luego tiene inversa. La calculamos por el método de Gauss:

luego:

Primero hacemos el producto:

Para que tenga inversa, debe ser una matriz regular, es decir tener determinante no nulo:

Para los valores de λ que anulan este polinomio no existe la inversa de A·B y para el resto si. Así que resolvemos la ecuacón de segundo grado que resulta de igualarlo a 0 y las soluciones son los valores para los que no existe la inversa:

Tiene inversa, por tanto, para todos los valores de λ que no sean –2 y 1/2.