Una vez que hemos finalizado el proceso de construcción de nuestra función a optimizar, ahora pasamos al punto de conseguir lo máximo de ella, analizarla y determinar aquellos valores para los que la función se hace máxima ó mínima. Como hemos estudiado en el punto 1, hemos de buscar sus puntos críticos (los puntos donde la derivada se anula) y analizar los valores de la función en los extremos del intervalo donde se encuentra definida. Así encontraremos los valores buscados.

Ángela ha comprado un pequeño terreno para plantar diversas vegetales y hortalizas. Quiere delimitar el terreno formando un rectángulo con un rollo de cuerda que mide 10 metros, de tal forma que la superficie que englobe sea máxima para así poder plantar más.

¿Cual será la función, de una sola variable, que determina el área encerrada? ¿Cuál sería la superficie máxima encerrada?

Pero esta función tiene dos variables y pretendemos que nuestra función solo tenga una variable. ¿De donde podemos obtener una condición para eliminar una incógnita? Si leemos el problema, apreciamos una condición, el rectángulo debe ser formado por una cuerda de 10 metros.

Esta condición, la pasaremos ahora a lenguaje algebraico, ya que la suma de los cuatro lados del rectángulo deben sumar 10 metros luego x + y + x + y = 10, es decir, 2·x + 2·y = 10. Despejando la variable y de esta expresión, determinamos que y = 10-x. En este momento, podemos ya sustituir nuestra variable y en la función f(x,y) de dos variables y obtener la función de una variable, la añorada f(x) = x·(10-x).

En el siguiente applets, creado por José Manuel Sánchez Grande, para el proyecto Descartes, puedes modificar el punto rojo y observaras el área que engloba el rectángulo en función del tamaño de la base.