1.2. Felipe ganador
Todo el pueblo estaba pendiente de Felipe. No pararon de animarle durante toda la carrera y al final ... ¡Felipe quedó el segundo!
Javier, un amigo suyo, había recorrido los 24 km en sólo 40 minutos.
Cuando estaban en el podio, vino el responsable de la carrera con unos análisis de sangre de Javier, de la prueba anti-dopaje que le habían hecho el día anterior, donde se había detectado tetrahidrogestrinona.
La tetrahidrogestrinona, también conocida como THG, es un esteroide anabolizante de última generación que pertenece al grupo de las llamadas "drogas de diseño", que se utiliza para mejorar el rendimiento deportivo.
La particularidad del THG es que fue específicamente sintetizada con el fin de no ser detectada por los controles anti-dopaje, pero en este caso le había salido mal la jugada a Javier.
Después del lío que se montó, como es natural, descalificaron a Javier, siendo Felipe el nuevo campeón.
Emocionado subió a recoger su merecido trofeo.
En este apartado vamos a analizar como se desarrolló la carrera en cada instante.
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| Imagen de euskalbizikleta bajo licencia Creative Commons |
Pre-conocimiento
Hasta ahora hemos calculado el consumo medio y la velocidad media, pero qué pasaría si quisiéramos saber cuál es el consumo eléctrico en un instante determinado o cuál es la velocidad instantánea en la contrarreloj.
Para poder contestar a estas preguntas, necesitamos la derivada, que no es ni más ni menos que el consumo instantáneo, la velocidad instantánea, ..., es decir, la tasa instantánea en un punto determinado de una función, que es lo mismo que la pendiente de la recta tangente en ese punto.
En el ejemplo de la contrarreloj, podemos ver que la velocidad que lleva Felipe justo a la media hora es de 21,28 km/h, porque la pendiente de la recta tangente en x=30 es 0,35. Es decir, 0,35 km por minuto, que multiplicando por 60 minutos, tenemos 21,28 km/h.
Actividad
Antes de ver la tasa de variación instantánea, vamos a observar el comportamiento de la tasa de variación media en intervalos pequeños.
Recuerda que:
La tasa de variación media de una función f en el intervalo [a, a+h] es la pendiente de la recta secante que une los puntos A=(a,f(a)) y B=(a+h, f(a+h)).
La tasa de variación media de una función f en el intervalo [a-h, a] es la pendiente de la recta secante que une los puntos C=(a-h,f(a-h)) y A=(a, f(a)).
En esta escena de Geogebra creada por José María Vázquez de la Torre, varía los valores de a y de h y observa cómo cambia la tasa de variación media.
¿Qué crees que ocurrirá si h=0?
Actividad
Cuando "h" se aproxima a cero, las rectas secantes se aproximan y con ellas sus pendientes.
Cuando hacemos el límite de la tasa de variación media cuando "h tiende a cero", las rectas secantes que pasan por A, se transforman en la recta tangente a la función en el punto A.
La pendiente de la recta tangente es lo que llamamos tasa de variación instantánea en el punto de abscisa "a" o derivada de la función en ese punto A.
AV - Actividad de Espacios en Blanco
Calcula la expresión analítica de la recta tangente en el punto A.
Recuerda que la ecuación de una recta conocida su pendiente m y un punto por donde pasa (x0,y0), es de la forma:
En la escena anterior, la recta tangente a la curva en el punto A es y- = (x- ).
Actividad
Cuando tenemos una función espacio tiempo, la tasa de variación instantánea en un punto de abscisa t, es la velocidad instantánea en ese punto. Se representa:
AV - Actividad de Espacios en Blanco
a) La velocidad de Felipe a los 12 minutos es de km/h.
b) La velocidad de Felipe a los 25 minutos es de km/h.
c) En el km 15,5, Felipe lleva una velocidad de km/h y ha tardado en recorrer esta distancia minutos.