2.1. Primeras reglas
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En el estudio de las ciencias sociales la función más elemental y que, quizás, más usemos sea la función polinómica. Multitud de situaciones que nos afectan se ajustan a esta ecuación. Ya hemos visto en temas anteriores que cuando el polinomio tiene grado 0 ó 1 se trata de una recta, cuando el grado es 2 es una parábola,...
Un polinomio está formado por varios monomios. Por lo tanto, vamos a comenzar calculando, aplicando la definición, la derivada del monomio de grado 0, es decir, una función constante.
Sea f(x)=a, con a un número real cualquiera. En la siguiente escena puedes ver el valor de su derivada. Mueve el deslizador para ver la demostración.
Si f(x)=a, entonces su derivada es f '(x)=0.
Calculemos ahora la derivada de la función identidad, f(x)=x. En la siguiente escena puedes ver el valor de su derivada. Mueve el deslizador para ver la demostración.
Ejemplo o ejercicio resuelto
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Calcula, aplicando la definición, la derivada de la función f(x)=x2 |
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Importante
Hemos visto que si f(x)=a, su derivada es f'(x)= 0. Si f(x)= x, entonces su derivada es f '(x)=1. Si f(x)=x2, su derivada es f '(x)=2x. Podemos seguir, si f(x)=x3, entonces su derivada es f '(x)=3x2.
Si generalizamos este resultado:
En el siguiente punto, con la ayuda de las reglas de derivación de la suma de funciones y del producto de un número por una función, calcularemos la derivada de un polinomio.
Hay dos funciones fundamentales en el estudio de poblaciones. La función exponencial, ax, y la función logarítmica, logax, a>0. Cuando el valor de la base es el número e aparecen dos de las funciones más usadas en las aplicaciones a las ciencias sociales: ex y logex o, simplemente, ln x.
El estudio de las derivadas de estas funciones nos va a permitir conocer como varía la característica que estemos estudiando. El cálculo de las reglas de derivación de estas funciones aplicando la definición de derivada es más complicado que en los casos anteriores; por eso sólo vamos a ver el caso de f(x)=ex.
Mueve el deslizador en la siguiente escena para ver los distintos pasos en el cálculo de la regla de derivación de ex.
Importante
Veamos en la siguiente tabla cuál es la fórmula de la derivada de las funciones logarítmicas y exponenciales:
| f(x) |
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| f '(x) |
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