2.3. Encadenando reglas

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Además de las operaciones básicas que hemos visto con funciones: suma, resta, multiplicación y división, existe otra operación exclusiva de las funciones que se llama composición de funciones y aparece cuando actúan dos funciones, una a continuación de otra.

Importante

Dadas dos funciones f y g, se llama función compuesta de f y g y se designa por (f o g) a la función definida como (fog)(x)=f(g(x))

Ejemplo o ejercicio resuelto

Sea f(x) = x+1 y g(x) = x². Calcular las funciones (f o g) (x) y (g o f) (x).
	Imagen de DraXus con licencia Creative Commons Empezamos calculando (f o g) (x)=f(g(x))=f(x²)=x²+1 Calculemos ahora (g o f) (x)=g(f(x))=g(x+1)=(x+1)². Como puedes comprobar no tiene la propiedad conmutativa, es decir, no es lo mismo fog que gof.

AV - Reflexión

Dadas las funciones f(x)=2x-1 y g(x)=3x²+2, calcula las funciones fog y gof.

Muchas funciones que obtenemos en el estudio de las ciencias sociales son funciones compuestas, es decir, están formadas por la composición de dos o más funciones. Para conseguir derivar estas funciones de forma sencilla está la llamada regla de la cadena. Veamos en que consiste:

Importante

Si g tiene derivada en x y f tiene derivada en g(x), entonces la función f o g tiene derivada en x y es (f o g)'(x)=f '(g(x)) · g '(x)

¿Por qué nos va a ser útil está regla? Veamos un ejemplo:

Calcular la derivada de la función F(x)=(x²+2x-3)⁴

La función F(x) es la composición de dos funciones: f(x)=x⁴ y g(x)=x²+2x-3.

F(x)= (f o g)(x), por lo que aplicando la regla de la cadena para el cálculo de la derivada obtendríamos:

F '(x)=(f '(g(x))·g '(x)

f '(x)= 4x³ y g '(x)=2x+2, por lo que la derivada de F(x) quedará como sigue:

F '(x)= 4·(x²+2x-3)³·(2x+2)

Para calcular la derivada sin aplicar la regla de la cadena deberíamos haber desarrollado (x²+2x-3)⁴ y, a continuación, hallar su derivada.

AV - Reflexión

Calcula la derivada de las siguientes funciones:

Para saber más

Puedes ver un par de vídeos más con ejercicios resueltos de derivadas:

Ejercicios del nivel 3

Derivadas del nivel 3. Ejercicios resueltos. En este caso también se incluyen las funciones trigonométricas(no es necesario que los hagas).

Derivadas de nivel 4. Ejercicios diversos de derivadas, con sus soluciones. Igual que en el ejercicio anterior no es necesario hacer los ejercicios correspondientes a trigonometría.

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