1.3. Racionalización

Observa que:

Para convencerse de que es cierto basta con que hagamos los productos cruzados:

Las dos fracciones contienen radicales cuadráticos, pero la segunda no los tiene en el denominador. Si necesitamos un valor aproximado de este número real debemos hacer una división. Si ese cálculo lo tenemos que hacer sin ayuda de la calculadora es bastante más sencillo cuando el denominador es un número entero.

Este es el motivo que hizo importante el aprendizaje de técnicas para transformar expresiones con radicales en el denominador en otras que nos los tuviesen. Aunque hoy día no es demasiado importante gracias a la facilidad para el cálculo que proporcionan las calculdoras, algunas de estas técnicas será útiles más adelante para transformar expresiones con radicales en el numerador o en el denominador.

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Racionalizar el denominador, de un cociente que tenga una expreción con radicales en el denominador, consiste en transformarlo en otro cociente igual al primero pero sin expresiones radicales en el denominador.

Estudiaremos dos casos sencillos de racionalización de denominadores cuadráticos. En el primero consideraremos expresiones que en su denominador contienen un radical simple, como en el ejemplo con el que hemos empezado este apartado.
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Para racionalizar el denominador de una fracción como , basta con que multipliquemos el numerador y el denominador de la fracción por la raíz que forma parte del radical del denominador, es decir por .

Quedará así: 

Inténtalo tu en este caso:

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Racionaliza los denominadores de las siguientes fracciones:

a) ;   b) ;    c)

En el segundo caso consideraremos expresiones con una suma o con una diferencia de dos radicales simples. La racionalización se basa en el empleo de una de las identidades notables, que ya conoces desde hace tiempo, la diferencia de cuadrados:
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Dada una expresión del tipo   llamamos expresión conjugada a la que se obtiene cambiando el signo + por un signo -:

Si la expresión es del tipo   entonces su conjugada es la expresión :


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Para racionalizar el cociente multiplicaremos el numerador y el denominador por la expresión conjugada del denominador:

La multiplicación del denominador la hacemos usando la identidad notable del producto de una suma por una diferencia que hemos citado en el párrafo anterior. Queda:

Racionaliza ahora la fracción:

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Racionaliza los denominadores de las siguientes fracciones:

a) ; b)

Las calculadoras y ordenadores han hecho que la racionalización no tenga hoy día la improtancia que tuvo. No obstante aun puede ser útil en ocasiones. Además de la racionalización de denominadores también resulta interesante racionalizar numeradores. La técnica es la misma. Veamos un ejemplo:
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Vamos a racionalizar el numerador de esta expresión:

Multiplicamos numerador y denominador de la fracción por la expresión conjugada del numerador:

 

 

 

Ahora intenta racionalizar el denominador de la siguiente expresión:

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Racionaliza los numeradores de las siguientes expresiones:

a) ;    b)

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