2.2. Propiedades

Se puede demostrar fácilmente que las raíces de números reales cumplen las siguientes propiedades:

, lo que no es más que otra forma de escribir la definición de raíz n-ésima.

El producto de raíces dos raíces n-ésimas es la raíz n-ésima del producto de los radicandos:

El cociente de raíces dos raíces n-ésimas es la raíz n-ésima del cociente de los radicandos:

Para elevar una raíz n-ésima a una potencia, debemos elevar el radicando a dicha potencia:

La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de los dos índices:

Curiosidad

Por ejemplo, para demostrar la segunda propiedad se procede de la siguiente forma:

de donde se deduce que:

Las raíces de números reales son, con frecuencia, irracionales. Como ya hemos visto en el apartado anterior, la realización de operaciones con números irracionales tienen que efectuarse de forma apróximada, pero podemos hacer uso de las propiedades de las raíces para obtener expresiones "más simples" de estos irracionales. Vamos a ver algunos ejemplos.

Sacar factores de una raíz.

Si el exponente de un factor del radicando es mayor que el índice de la raíz, podemos sacarlo de la raíz.

Ejemplo o ejercicio resuelto

Observa el siguiente ejemplo:

Trata de hacer lo mismo en este caso:

Importante

Observa que para saber qué podemos sacar de una potencia que está en el interior de una raíz n-ésima, debemos dividir su exponente por el índice de la raíz, y el cociente entero nos dice el exponente con el que queda el factor fuera de la raíz, mientras que el resto nos dice el exponente con el que queda dentro:

Si tenemos hacemos la división entera y entonces:

AV - Reflexión

Trata de extaer de la raíz todos los factores que puedas:

a) ; b) ; c)

Simplificar raíces.

Como consecuencia de las propiedades de las raíces podemos obtener una interesante aplicación que permite simplificar raíces:

Esta propiedad, en definitiva, nos permite "simplificar" él indice de la raíz y el exponente del radicando por un factor común.

Ejemplo o ejercicio resuelto

Empezaremos con un ejemplo sencillo:

Intenta hacer algo parecido en este caso:

AV - Reflexión

Intenta obtener la forma más simple de las siguientes raíces:

a) ; b) ; c)

Multiplicación y división de raíces.

Se puede usar la última propiedad para sustituir dos raíces de distinto índice por otras dos con el mismo índice que entonces podrán multiplicarse y dividirse.

Ejemplo o ejercicio resuelto

Queremos calcular

Para ello vamos a sustituir las dos raíces por otras dos de igual índice: el mínimo común múltiplo de los dos índices que es 6:

y ahora ya podemos hacer la multiplicación:

Ahora, prueba tu a hacer la siguiente división:

AV - Reflexión

Efectúa las siguientes multiplicaciones y divisiones de raíces dejando el resultado lo más simple que puedas:

a) ; b) ; c) ; d) ; e)

Racionalización.

Ya hemos visto, en el caso de los radicales cuadráticos, que la racionalización consiste en transformar una expresión con raíces para que no las contenga en el denominador. En el caso de que en el denominador de una expresión haya un radical simple con una raíz n-ésima la racinalización no resulta difícil de conseguir. Veamos algún ejemplo:

Ejemplo o ejercicio resuelto

Trataremos de racionalizar la expresión:

Multiplicamos el numerador y el denominador de la expresión por y obtenemos

Observa que el factor que hemos escogido para multiplicar numerador y denominador de la expresión no es más que lo que hacía falta para que una vez realizado el rpoducto la ríaz obtenida fuese exacta.

Trata de hacer lo mismo en este caso:

AV - Reflexión

Racionaliza las siguientes expresiones:

a) ; b) ; c)

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