2.2 Otras ecuaciones

Hay problemas que se resuelven planteando ecuaciones que no son ni de primer ni de segundo grado pero que, haciendo las transformaciones adecuadas, podemos resolverlos con las herramientas que ya conocemos.
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Ejemplo de ecuación bicuadrada

De un recinto rectangular sabemos que tiene una superficie de 48m2 y que sus diagonales miden 10 m. Hallaremos sus lados.

Planteamos el sistema

Sustituimos en la segunda ecuación:

Si te fijas, esta ecuación tiene tres términos, el grado del primero es el doble del segundo y el término independiente: tiene la misma estructura que una ecuación de segundo grado. Observa:

Hacemos un cambio de variable para facilitar el cálculo: , entonces

es una ecuación de segundo grado y sus soluciones son:

Hallamos los valores de :

Si

 

Halla tú el resto de las soluciones. ¿Son todas válidas en el contexto del problema?

Resuelve las ecuaciones siguientes: a) b)

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Una ecuación bicuadrada es una ecuación de 4º grado a la que le faltan los términos de grados 3 y 1. Su expresión algebraica es:

Para resolverlas se suele hacer un cambio de variable


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Completa los espacios en blanco
  • Una ecuación bicuadrada puede tener un máximo de soluciones.
  • ¿Puede tener tres soluciones?:
  • Si después de hacer el cambio de variable,
    • la ecuación de segundo grado tiene una solución negativa, la ecuación bicuadrada tiene soluciones.
    • la ecuación de segundo grado tiene dos soluciones negativas, la ecuación bicuadrada tiene solución.
  

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Se llaman ecuaciones irracionales aquellas en que la incógnita aparece en alguno de sus términos bajo el signo radical.

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Desarrollaremos un par de ejemplos para ver cuáles son los pasos a seguir y las principales dificultades que nos podemos encontrar.
Fuente propia

1. Resolvamos

La primera idea que podemos tener es elevar al cuadrado los dos miembros de la ecuación para eliminar esa raíz tan molesta, pero ¡cuidado!, si lo hacemos sin despejar el término irracional mira lo que ocurre:

¡No hemos conseguido eliminar la raíz! Por ello,

 

1º Aislamos el radical en uno de los miembros de la ecuación:

2º Elevamos al cuadrado los dos miembros:

3º Operamos y resolvemos la ecuación obtenida:

Ahora bien, si A=B, entonces A2=B2. Esto es evidente, pero su recíproco no es cierto, es decir: si A2=B2 no siempre A=B, ya que podría ser también A=-B.

Por tanto, en el 2º paso hemos podido generar soluciones falsas:

4º Comprobamos las soluciones en la ecuación original:

  • Para solución válida.
  • Para solución falsa

2. Resolveremos ahora una ecuación con dos radicales:

1º Aislamos uno de los radicales:

 

2º Elevamos al cuadrado los dos miembros:

 

 

3º Aislamos el otro radical:

 

 

4º Elevamos al cuadrado los dos miembros:

 

5º Operamos y resolvemos la ecuación: .

6º Comprobamos las soluciones: Para ¡es solución!

  • Para ¡no es solución!

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Recuerda:

Si al resolver alguna ecuación necesitamos pasar de la igualdad A(x) = B(x) a la igualdad [A(x)]2 = [B(x)]2 , entonces debemos comprobar en la primera las soluciones que se obtengan para esta última.


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Resuelve: a) b)
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