7. ¿A qué distancia…? Creative Commons

¿A qué distancia esta la otra costa que observa el excursionista en esta fotografía. En el primer tema de esta unidad, aprendimos a calcular la distancia entre dos puntos de los que conocíamos sus coordenadas, pero para responder a la pregunta anterior, deberíamos averiguar la distancia a la que se encuentra la línea de costa que está enfrente del personaje.

Se debería averiguar primero el punto que se encuentra frente a él para luego aplicar nuestros conocimientos, pero en este tema veremos como podemos obviar este paso si conocemos la ecuación de la recta cuya distancia de nosotros queremos averiguar. Y recuerda que para saber la ecuación de la recta tan sólo necesitamos conocer un punto cualquiera de la recta y su dirección.

Distancia entre dos puntos

Si queremos averiguar la distancia entre los puntos y bastará que calculemos el módulo del vector que los tiene como extremos.

Al principio de este tema hemos visto cómo expresar el módulo de un vector usando el producto escalar. Vamos a emplearlo aquí para obtener la fórmula que ya conocíamos:

Distancia de un punto a una recta

El prodecimiento expuesto en el ejercicio anterior podría aplicarse a cualquier otro caso de cálaculo de distancia de un punto a una recta. Ahora trataremos de abordar este mismo problema desde una perpectiva vectorial.

Dada la recta r: Ax + By + C = 0 y un punto , consideremos cualquier punto de la recta r. Sus coordenadas cumplen la ecuación de r, asi que sabemos que: .

El vector de dirección de la recta r es y por lo tanto el de su perpendicular es . Observa que el vector que resulta de proyectar el vector sobre la recta s es siempre el vector , cuyo módulo es la distancia que andamos buscando.

Según hemos visto al estudiar las propiedades del producto escalar, tendremos que:

  Por lo tanto, la distanci, escrita vectorialmente es:

Ahora basta con que calculemos el numerador y el denominador de esta fracción para obtener su expresión en coordenadas:

• En primer lugar, sabemos que:

• Por otra parte,
  Como el punto es de la recta r, sus coordenadas cumplen la ecuación de r, asi que sabemos que: y que por tanto . Sustituyendo en la fórmula anterior, tenemos que: