La covarianza es la primera medida que se utilizó para medir el grado de relación entre dos variables. También conocida como varianza conjunta, no es más que una adaptación de la varianza al caso de dos variables estadísticas.

Recordemos que la varianza de una variable X se define como , o bien si los datos no vienen dados con frecuencias .

La covarianza entre las variables X e Y se define como.

Notas: 1. Si los datos vinieran dados en una tabla de doble entrada (en la que se indican sus frecuencias), cada sumando debería multiplicarse por la frecuencia correspondiente n_ij.

2. La covarianza también se suele denotar por .

(Elaboración propia)

Si consideramos la nube de puntos (x_i,y_i), cada sumando representa el producto de las diferencias entre las abscisas de cada punto y del centro de gravedad, por las diferencias entre las ordenadas (ver figura). De esta forma, si los puntos de la nube están en los cuadrantes I y III (ver figura), los productos serán positivos, mientras que si el punto está en los cuadrantes II y IV el producto será negativo.

Si la relación entre las variables es directa, o sea, si a mayor valor de la variable X corresponde, en general, mayor valor de la variable Y, la nube de puntos estará situada mayoritariamente en los cuadrantes I y III, por lo que la covarianza resultará positiva al ser la mayoría de los sumandos positivos y sólo una minoría negativos.

En cambio, si la relación es inversa, la nube de puntos estará mayoritariamente en los cuadrantes II y IV, por lo que los sumandos serán, en su mayoría, negativos. De esta forma, la covarianza será negativa.

Por otra parte, si se cambia la escala de los datos, los productos cambiarán, luego también la covarianza. Lo que equivale a decir que, si se miden los valores con unidades de distintas (metros en lugar de centímetros, por ejemplo), la covarianza cambiará. Por ello, del valor de la covarianza no podemos deducir si la relación que hay entre las dos variables es fuerte o débil.

Esto es una seria pega de la covarianza, lo ideal sería tener una medida que fuera independiente de las unidades de medida utilizadas. Esta medida será la correlación lineal, que veremos en el siguiente apartado.

Nota. Aplicando las propiedades del sumatorio (básicamente la propiedad distributiva), se demuestra que la expresión de la covarianza es igual a: , que, en general, es más sencilla de calcular.