2.1. Valor esperado
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Un jugador entre a un casino con 310 € y con la intención jugar a la ruleta siguiendo una estrategia que cree que le va a hacer ganar. Va a jugar siempre a rojo y apostará en la primera jugada 10 €; si gana se retirará con 10 € de ganancia y si pierde volverá a jugar doblando su apuesta. Si ahora gana, y se retira, habrá recuperado los 10 € que había perdido y ganado otros 10 €. En caso de perder, vuelve a doblar la apuesta y así sucesivamente. Está convencido de que como es seguro que va a salir alguna vez rojo, terminará con ganancias. El jugador olvida que el resultado rojo puede hacerse esperar demasiado y de que el tan sólo puede ir doblando la apuesta hasta llegar a 160 € pues en ese caso ya habrá perdido 150 € en apuestas fallidas.
Podemos usar una variable aleatoria para modelizar esta situación y ver cual será la ganancia media esperada si se repite este proceso muchas veces. Sabemos que hay 18 casillas rojas, 18 negras y 2 verdes —que dan toda la apuesta al casino—. Entonces P(rojo) = 18/38 = 9/19 y P(negro ó verde) = 20/38 = 10/19. En la siguiente tabla definiremos una variable aleatoria, que corresponde a los posibles desarrollos de su estrategia y asigna a cada desarrollo posible de la partida la ganancia que se conseguiría, así como la función de probabilidad calculada de acuerdo con la regla del producto para sucesos independientes:
| sucesos | r, nr, nnr, nnnr, nnnnr |
nnnnn |
| X | 10 | -310 |
| P(X) |  |
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Como se puede observar, el jugador tiene una gran probabilidad de ganar 10 € y una muy pequeña probabilidad de perderlo todo. Si se realiza un número muy grande de partidad (digamos N), cada resultado se producira un número de veces igual a su probabilidad por el número de partidas jugadas (interpretamos la probabilidad como frecuencia esperada) y la ganancia obtenida de ellas será el resultado de multiplicar esos números por lo ganada¡o en cada partida. Así tendremos que después de N partidas se espera una ganancia total de
Luego, por término medio, en cada partida el jugador espera una ganancia (en este ejemplo una pérdida) de:
Es decir el casino ganará 1,43 €, aproximadamente, por partida.
Importante
Ejemplo o ejercicio resuelto
En el primer ejemplo con el que hemos empezado el apartado anterior, el de la camada de tres perritos, aplicando la definición anterior a la variable aleatoria que allí definíamos tendremos que:
Es decir, por término medio se espera la mitad de la camada de cada sexo.
Fijémonos ahora en el ejmplo del reproductor de mp3. ¿Qué cantidad de discos de jazz esperamos por término medio en cada lista de reproducción?
De nuevo, de acuerdo con la variabla aleatoria que allí definimos y con mla función de probabilidad asociada a esta, el valor esperado será:
Es decir, aproximadamente un disco de jazz en cada lista de reproducción aleatoria.
AV - Reflexión
Recuerda las tres variables aleatorias asociadas al juego de extraer una tarjeta de entre las siete siguientes:
Eran respectivamente:
a) el número de letras de la palabara;
b) el número de letras "a";
c) el número de vocales.
Calcula para cada una de esas variables aleatorias el valor esperado.
