2.5. Propiedades del producto
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| Matrix_multiplication_diagram de Wikimedia Commons |
En este apartado estudiaremos, de forma breve, las principales propiedades del producto de matrices. Antes de escribirlas, recordemos que según la definición que hemos dado para el producto de matrices, éste no siempre puede hacerse; es preciso que el número de columnas de la primera matriz sea el mismo que el de filas de la segunda matriz.
y 
; en este caso se puede hacer el producto 
pero no el 
:
- Si consideramos la matriiz B del ejemplo anterior y la matriz
, ahora los dos productos pueden hacerse y el resultado es muy distinto:
y 
Importante
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| Matriz_A_por_B.png de Wikimedia Commons |
La multiplicación de matrices no cumple la propiedad conmutativa.
En general 
Curiosidad
No obstante lo dicho en el recuadro anterior, es posible que dos matrices en particular den el mismo resultado al hacer los dos productos. En este caso se dice que las dos matrices conmutan. Es el caso del siguiente ejemplo:
Sea la matriz 
y la matriz 
en este caso, es posible hacer los dos productos y además:
y 
El resto de las propiedades de las matrices es bastante normal, aunque la comprobación de su validez general es un tanto farragosa por lo que la omitiremos.
Por otra parte, dejaremos para un tema posterior la existencia de inverso de una matriz y su cálculo.
AV - Reflexión
?
.
, es decir, la matriz B es cualquiera que tenga la forma:
Importante
Sumpodemos que las matrices A, B y C son de ordenes tales que las operaciones que se indican pueden hacerse. También que k es unnúmero real cualquiera.
- Si indicamos con I, la matriz identidad del orden adecuado, entonces:
y 
- Asociativa:
- Distributiva por la izquierda:
- Distributiva por la derecha:
- Propiedad de la trasposición de matrices:
AV - Reflexión
Sean las siguientes matrices: 
Comprobar las siguientes igualdades, que corresponden a propiedades del producto de matrices:
; 2.
; 3.
; 4.
