1.1. Definiciones

Suponemos que el mundo del Álgebra, y concretamente los sistemas de ecuaciones, no es desconocido para ti. En el pasado curso ya tomaste contacto con él (repasa al tema 4 de la primera unidad de Primero de Bachillerato) y aprendiste un método general de resolución. Este primer apartado del tema está dedicado a recordar los conceptos más importantes y a relacionarlo con el mundo de las matrices.

Como recordarás, uno de los aspectos más importantes en la resolución de problemas es conseguir traducir a lenguaje algebraico el lenguaje cotidiano que estemos utilizando para después aplicar los métodos de resolución.

Por ejemplo, si las personas que forman un grupo, pongamos por caso una clase de Bachillerato, se quieren agrupar en equipos de futbito, cada uno de los cuales con 5 jugadores, y de futbol, formados por 11 jugadores, como no sabemos cuántos grupos podemos hacer, la expresión correspondiente sería 5·x+11·y, siendo x el número de equipos de futbito e y el de futbol.

Este tipo de expresiones, que se denominan lineales, van a ser las que constituirán el punto en el que enfocaremos nuestra atención durante este tema.

Partido de futbito
Futbol sala, imagen de malojavio
con licencia Creative Commos
Icono IDevice Importante

Se llama ecuación lineal en las incógnitas x1, x2, x3,… xn a toda expresión del tipo:

donde a1, a2, a3,… an y b son números reales (llamados coeficientes y término independiente de la ecuación). Si el número de incógnitas es sólo tres en vez de numerar las llamaremos x, y, z, y un ejemplo de ecuación sería: 6x – 2y + 9z = 24.

Puede darse que las variables aparezcan en distinto miembro, en ese caso basta agrupar todas las variables en un miembro y en el otro el término independiente. Por ejemplo, la ecuación 6x + 9z = 24 + 2y es equivalente a la anterior.

Se llama solución de la ecuación lineal a un conjunto de valores (s1, s2, s3,… sn) que al sustituirlos en las incógnitas hacen que se verifique la igualdad. Por ejemplo,en el caso de la ecuación con tres incógnitas anterior, los valores x = 2, y = 3, z = 2 son solución de la ecuación anterior ya que se verifica que 6·2 – 2·3 + 9·2 = 12 – 6 + 18 = 24.


AV - Pregunta Verdadero-Falso
Indica si son verdaderas o falsas las siguientes frases.


La ecuación 3xy – 2 = 5 es lineal.

Verdadero Falso     


La expresión 3x – 5 + 2y = 7 – 6z es una ecuación lineal.

Verdadero Falso     


Los valores x = 1, y = 2, z = –2 son solución de la ecuación 3x + 4y + 5z = 1

Verdadero Falso     
Icono IDevice Importante
Se llama sistema de ecuaciones lineales a un conjunto de ecuaciones lineales referidas todas ellas a las mismas incógnitas. En general se indica tanto el número de ecuaciones como de incógnitas. Hablaremos de un sistema de m ecuaciones con n incógnitas.
Por ejemplo a continuación tenemos un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas y otro de 2 ecuaciones con 4 incógnitas.
La solución de un sistema de ecuaciones lineales es el conjunto de valores de tantos valores como incónitas que verifican todas y cada una de las ecuaciones del sistema.
 
Por ejemplo, los valores x = 1, y = –3, z = –6 son una solución del primero de los sistemas anteriores ya que se verifica:

Icono de iDevice AV - Reflexión
Balonmano

En un grupo de Bachillerato formado por 35 alumnos los hemos repartido formando tres equipos de baloncesto, dos de balonmano y uno de balonvolea. En otro grupo hemos formado dos de baloncesto, uno de balonmano y dos de balonvolea, juntando en total 29 alumnos. Por último, con 30 alumnos hemos conseguido un equipo de baloncesto, otro de balonmano y tres de balonvolea.

  1. Si x representa el número de alumnos que forman un equipo de baloncesto, y los del balonmano y z los que componen un equipo de balonvolea, escribe un sistema de tres ecuaciones con esas tres incógnitas que recoja la información anterior.
  2. Comprueba que x = 5, y = 7 y z = 6 es solución del sistema anterior. ¿Qué representan esos valores?
Fotografía tomada del Banco de Imágenes y sonidos del ITE.
  
Una forma muy cómoda de trabajar con un sistema es mediante su forma matricial, pues vamos a poder aplicar todo lo que hemos aprendido hasta el momento en la unidad.
Si tenemos un sistema general de 3 ecuaciones con 3 incógnitas (el proceso sería exactamente igual con un sistema de n ecuaciones y m incógnitas, aunque más pesado de escribir):
Los términos se agrupan en forma matricial como el siguiente producto de matrices:
La matriz recibe el nombre de matriz de los coeficientes y esta formada, en cada una de sus filas, por los coeficientes de las ecuaciones y por columnas por los coeficientes de cada variable.
La matriz es la matriz de las incógnitas y la matriz de los términos independientes.
Se llama matriz ampliada a la que se obtiene añadiéndole a la matriz de los coeficientes la columna de los términos independientes:
 
Con esta forma de escribir los sistemas de ecuaciones; los podemos interopretar como ecuaciones simples en las que la resolución se reduce a "despejar" la matriz X.
En el caso de que el sistema tenga tantas ecuaciones como incógnitas, es decir qiue la matriz ampliada sea cuadrada, y además su determinante no sea cero, entonces la operación de despejar es bien sencilla y sólo depende del cálculo de la matriz inversa de Mc:

Icono de iDevice AV - Reflexión

Dado el sistema escríbelo en forma matricial y comprueba que, aplicando las operaciones con matrices, esa expresión es equivalente al sistema original.

¿Cuál sería la matriz ampliada del sistema?

Resuelve el sistema mediante cálculos matriciales, usando la matriz inversa de la matriz de los coeficientes.

Icono de iDevice Ejemplo o ejercicio resuelto

Escribe los siguientes sistemas de forma matricial y di , en cada uno de los casos cua´les son la matrtiz del sistema, la de los términos independientes y la matriz ampliada:

a) b)


Escribe los sistemas cuyas matrices ampliadas son:

a) b)


En el siguiente applet puedes ver ejemplos del estudio, mediante el teorema anterior, del tipo de sistema que tenemos. En la parte inferior puedes incluir los coeficientes del sistema, después de elegir el número de ecuaciones y de incógnitas que vas a utilizar, basta que aumentes el contador del número de pasos para que te aparezcan las matrices y los rangos.

 

Applet de Descarte s elaborado por Alfredo Pena Iglesias bajo licencia Creative Commons.

« Anterior | Siguiente »