3.1. Problemas de sistemas con enunciado

Mapa mental de Arquepoetica
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Este apartado está dedicado a un tema de especial importancia: la traducción de situaciones de la realidad al lenguaje algebraico y la utiilización de las técnicas de resolución de sistemas a los planteamientos surgidos de la anterior traducción.

Aunque suele ser un tema que "da miedo" debes afrontarlo sin prejuicios. La resolución pasa por varias fases:

  • Lectura y comprensión del enunciado.
  • Extracción de la información relevante (un buen instrumento para organizarla puede ser una tabla).
  • Elección y declaración de las incógnitas.
  • Planteamiento de las ecuaciones relacionando los datos conocidos con las incógnitas a través de las informaciones que contiene el enunciado
  • Resolución del sistema de ecuaciones planteado.
  • Comprobación y valoración de la soluciones.

A veces pasarás por alguna de las fases muy por encima, sobre todo a medida que vayas cogiendo confianza en tu capacidad para resolver los problemas. En los ejemplos que vienen a continuación, dedicaremos especial atención a todo lo que ocurre hasta que el sistema está planteado. En los apartados que acabas de estudiar está suficientemente explicado cómo resolver los sistemas, así que no le dedicaremos mucho espacio.

Icono de iDevice Ejemplo o ejercicio resuelto

Raimundo ha recibido los datos de las compras de pescado destinado a la sección correspondiente de sus supermercados. Su cadena suele trabajar con tres mercados distintos según el tipo de pescado que reciben. Sabe que la caja de pescado que sirve el primer mercado la pagan a 30€, la del segundo a 20€ y a 40€ cada caja de pescado servida por el tercer mercado.

En el mes pasado han tenido que pagar 40500 euros por las 1500 cajas de pescado que han recibido en total de los tres mercados el último mes. Además, le han comentado que del segundo mercado han recibido tantas cajas de pescado como del primero y tercero juntos. ¿Cuántas cajas se habrán comprado a cada uno de los mercados?

Si llamamos x al número de cajas recibidas del primer mercado, y a las del segundo y z a las del tercero, tendremos resumida la información en la siguiente tabla::
  Mercado 1 Mercado 2
Mercado 3
Total
nº de cajas
x
y
z
1500
precio de la caja
30
20
40
40500
relación
  x + z
 

Icono de iDevice AV - Actividad de Espacios en Blanco
Una empresa cinematográfica dispone de tres salas: A, B y C. Los precios de entrada a estas salas son 3, 4 y 5 euros, respectivamente. Un día la recaudación conjunta de las tres salas fue de 720 euros y el número total de espectadores fue de 200. Si los espectadores de la sala A hubieran asistido a la sala B y los de la sala B a la sala A, se hubiese obtenido una recaudación de 20 euros más. Calcula el número de espectadores que acudió a cada una de las salas.
Tomamos como variables:
x = nº de espectadores de la sala A
y = nº de espectadores de la sala B
z = nº de espectadores de la sala C
Completa el sistema según los datos reflejados:

x + y + z = 720

x + y + z =

x + y + 5z =

La solución de ese sistema sería

x = espectadores en la sala A

y = espectadores en la sala B

z = espectadores en la sala C


Entrada de Cine de guevonaso
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Icono de iDevice AV - Reflexión
Un cajero automático contiene sólo billetes de 10, 20 y 50 euros. En total hay 130 billetes con un importe de 3000 euros.

a) ¿Es posible que en el cajero haya el triple número de billetes de 10 que de 50?

b) Suponiendo que el número de billetes de 10 es el doble que el número de billetes de 50, calcula cuántos billetes hay de cada tipo.

Icono de iDevice Ejemplo o ejercicio resuelto

En una excavación arqueológica se han encontrado sortijas, monedas y pendientes. Una sortija, una moneda y un pendiente pesan conjuntamente 30 gramos. Además, 4 sortijas, 3 monedas y 2 pendientes han dado un peso total de 90 gramos. El peso de un objeto deformado e irreconocible es de 18 gramos.
Determina si el mencionado objeto es una sortija, una moneda o un pendiente, sabiendo que los objetos que son del mismo tipo pesan lo mismo.
Museo de Cádiz de Rafael dP
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Recogemos en una tabla la información y relaciones que salen en el enunciado:

Consideramos las variables: x = peso de una sortija; y = peso de una moneda; z = peso de un pendiente.

  Sotijas
Monedas
Pendientes
Total
peso en gr.
x
y
z

 

primera combinación
 1 1
1
30 gr
segunda combinación 4
3
2
90 gr
objeto irreconocible
 1 18 gr

Para terminar este apartado veremos un problema en el que introducimos los parámetros:
Icono de iDevice Ejemplo o ejercicio resuelto
Tratamos de adivinar, mediante ciertas pistas, los precios de tres productos A, B y C.

Pista 1: Si compramos una unidad de A, dos de B y una de C gastamos 118 euros.

Pista 2: Si compramos n unidades de A, n + 3 de B y tres de C gastamos 390 euros.

a) ¿Hay algún valor de n para el que estas dos pistas sean incompatibles?

b) Sabiendo que n = 4 y que el producto C cuesta el triple que el producto A, calcula el precio de cada producto.


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