2.2. Perpendicularidad

6. Perpendicular. Creative Commons
Acabamos de ver cómo el producto escalar puede resultar útil para la medición de ángulos. La perpendicularidad está ligada a una medida concreta del ángulo: el ángulo recto, los 90º.
Icono IDevice Importante

 

 

Si dos vectores son perpendiculares, su producto escalar es 0, ya que el ángulo que forman sería de 90º y uno de los factores del producto escalar es el coseno de este ángulo que es 0.

Reciprocamente, si el producto escalar de dos vectores es 0 o bien uno de los dos vectores es el vector nulo, (que tiene módulo 0) o el coseno del ángulo que forman los dos vectores es 0, lo que sólo puede ocurrir si este ángulo es de 90º.

Diremos entonces que los dos vectores son ortogonales.


 

Si dos rectas r y s son perpendiculares entonces sus vectores de dirección son ortogonales y por tanto, su producto escalar es 0:

 

Si las rectas están dadas en forma explícita: r: y = mx + b y s: y = m'x + b' , basta pasarlas a forma general para ver que sus vectores de dirección son y . Aplicando la fórmula anterior, tenemos la siguiente relación entre las pendientes de dos rectas perpendiculares:

Icono de iDevice Ejemplo o ejercicio resuelto

Dada la recta r de ecuación 3x + 2y – 2 = 0, hallar las ecuaciones de las rectas:

a) s que pasa por el punto A(1, –2) y es perpendicular a r

b) t que pasa por el punto A y es perpendicular a la recta s.


¿Cuál es la mediatriz del segmento cuyos extremos son A(1, –2) y B(3, 6)?

AV - Pregunta Verdadero-Falso
Elige en cada una de las cuestiones, la opción correcta.


El vector y el vector son ortogonales

Verdadero Falso


La recta r: 3x +2y – 1 = 0 es perpendicular a la recta s: 2x – 3y =0

Verdadero Falso


La pendiente de la recta perpendicular a r: y =2x +3 que pasa por el origen de coordenadas es distinta a la de la recta perpendicular a r que pasa por el punto P (2, –1)

Verdadero Falso


La pendiente de una recta perpendicular a r: y = 3x +2 es

Verdadero Falso

 

Para hallar la ecuación de la recta perpendicular desde un punto a una recta r de ecuación Ax + By + C = 0, podemos proceder de la siguiente manera:

 

  • El vector de dirección de la recta r es .
  • El vector que une cualquier punto Q (x, y) de la recta con el punto P, tiene por componentes .
  • Estos dos vectores son siempre ortogonales por lo que su producto escalar es 0:

Esta propiedad caracteriza a todos los puntos Q de la recta perpendicular, luego podemos obtener la ecuación de ella expresando este producto en función de las componentes de los dos vectores:

 

Icono de iDevice AV - Reflexión
Halla la ecuación de la recta perpendicular a la recta r: 3x + 2y – 5 = 0 que pasa por el punto P(–1, –2).
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