1. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera
Para calcular las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera se utiliza la circunferencia goniométrica (literalmente: "para medir ángulos") que es la centrada en el origen de coordenadas y radio unidad. Posteriormente veremos que también es muy útil para determinar relaciones entre razones trigonométricas o para resolver ecuaciones.
A cada punto de la circunferencia le asociaremos un ángulo α comprendido entre 0º y 360º, que será el determinado por los segmentos OA y OP, siendo A(1,0) el punto intersección de la circunferencia con la parte positiva del eje de abscisas, y P(x,y) el punto considerado. Llamaremos P' al punto proyección de P sobre el eje de abscisas, luego sus coordenadas serán (x,0).
Recíprocamente, dado un ángulo α construiremos el punto P considerando el radio OP cuyo ángulo con OA sea el ángulo dado.
Por construcción, el triángulo OPP' es rectángulo en P', por lo que podremos calcular las razones trigonométricas de α:
De esta forma, las razones trigonométricas están orientadas, es decir, toman valores positivos o negativos dependiendo del cuadrante en que se encuentre el ángulo. Se llama I cuadrante al de los ángulos comprendidos entre 0º y 90º, II al de los de 90º y 180º, III a 180º-270º, y IV al 270º-360º.
En estos cuadrantes, las razones trigonométricas tienen los signos:
| I | II | III |
IV | |
| sen |
+ | + |
- | - |
| cos |
+ | - | - | + |
| tan |
+ | - | + | - |
Aunque estamos más acostumbrados a trabajar con grados que con radianes (repasa el tema anterior si fuera necesario), las razones trigonométricas suelen utilizarse indistintamente en grados o en radianes, por lo que debes practicar con los dos sistemas para tener la suficiente fluidez. Normalmente, basta con tener unas cuantas referencias, como:
los demás se obtienen a partir de éstos: 
, y así con los demás.
Para los ángulos mayores de 360º el procedimiento es el mismo, sólo que al completar una vuelta seguimos girando hasta llegar al ángulo total. No se sabe cuál fue la razón ni su origen, pero el hecho es que, desde siempre, se considera como sentido positivo de los ángulos el contrario al de las agujas del reloj, y negativo el de éstas.
Como el punto de la circunferencia es el mismo para dos ángulos que se diferencian en un número completo de vueltas de circunferencia (o sea, de 360º, o π radianes), las funciones trigonométricas son cíclicas, es decir, se van repitiendo continuamente. Al ángulo mínimo que hay que sumar para que se repita el ciclo se llama periodo.
El seno y el coseno tienen un periodo de 360º, (o 2π radianes), pero la tangente se repite cada 180º (utiliza el applet anterior para comprobarlo), así:
Importante
, entonces 
pertenece:
.
por ejemplo).
, entonces:
?
.
.
que dan 
Para saber más
La utilización del sistema sexagesimal de los Babilonios se debe, seguramente, a que es un sistema que permite manejar "fácilmente" fracciones que otros sistemas no permiten (recordemos el 0 no apareció hasta el siglo V en la India, y que las cifras "arábigas" se introdujeron en el mundo occidental en el siglo XIII, pensemos también en cómo se podría realizar una división con el sistema de numeración romano). Y también a que el año tiene unos 360 días (múltiplo de 60), mucho más fácil de manejar que 365, y que la fase lunar es de unos 30 días.
Los nombres de grado, minuto y segundo se establecieron como resultado de la traducción de términos antiguos que fueron perdiendo su significado, por lo que se tuvieron que buscar palabras parecidas en el idioma del momento (griego, árabe o latín fundamentalmente) para transcribirlas. A la sexagésima parte de un grado, los griegos la llamaban la "primera parte", y a su sexagésima parte "la segunda parte". Al pasar por el latín, estos términos se transformaron en pars minuta prima y pars minuta secunda, derivándose éstos en nuestos minuto y segundo.
Posteriormente hubo varios intentos de mejorar y racionalizar las escalas de las medidas de los grados, sin que triunfaran. En la actualidad son los grados sexagesimales y los radianes los que se utilizan casi exclusivamente, las calculadoras y los ordenadores usan los grados pero con un formato decimal: 17,5º en lugar de 17º 30'.
En 1871 James Thompson, hermano del famoso físico Lord Kelvin, inventó la palabra radián. Tanto en las matemáticas como en las demás ciencias se reconoce la importancia de la utilización de los radianes en función de la simplicidad de las fórmulas (la longitud de un arco de ángulo α es r·α, mientras que en grados sería 
, y así con muchas más) y también que para valores pequeños de un ángulo la función seno toma valores muy aproximados al del ángulo en radianes: 1º es 0,0174533 radianes, y sen 1º=0,0174524.
 |
| Reloj del Ayuntamiento de Ulm Wikimedia Commons |
