En el tema 3 trabajaremos el apartado de Ecuaciones Trigonométricas, que es un poco complicado si no se entiende bien. De momento, para preparar el terreno, y también para asimilar mejor los conceptos anteriores de reducción de razones trigonométricas al I cuadrante, presentaremos algunas ecuaciones sencillas. El método de resolución, en principio, es muy simple, basta con hallar los ángulos comprendidos entre 0º y 360º que sean solución, y luego añadir todos los equivalentes, o sea, los que se diferencien con ellos un número entero de vueltas a la circunferencia, o n·360º. Esto se representará de la forma .

Así, por ejemplo, la solución de la ecuación sen x = 1 es 90º, y también 360º+90º=450º, 720º+90º=810º, 1080º+90º=1170º, etc. La solución se simplifica de esta manera: 90º+n·360º, con n entero.

Esto es muy fácil de entender y parece sencillo, pero el problema surge cuando hay que condensar varias soluciones en una que las reúna a todas. Comentaremos un poco más en los ejemplos siguientes, pero se tratará más a fondo en el tema siguiente.

Por otra parte, y como ya hemos comentado, trabajaremos indistintamente con grados y con radianes, pero es conveniente que por tu cuenta obtengas, en cada problema, las soluciones en los dos sistemas de medida. Así en el caso anterior, la solución en radianes sería , o también, factorizando, .

En primer lugar, familiarízate un poco con las animaciones moviendo el punto M y viendo cuáles son las soluciones (en general, dos, salvo los casos particulares: 0º, 90º, 180º y 270º) para los distintos valores. Después mira los ejemplos y resuelve los ejercicios de autoevaluación.

Ejemplos:

1. La solución de la ecuación: tan x =-1 es: 135º+n·360º, y 315º+n·360º. Pero estas dos soluciones se pueden resumir en: 135º+n·180º.

2. La ecuación cos x = 0'5 tiene como soluciones 60º+n·360º, y 300º+n·360º, que, como 300º=-60º, se pueden presentar conjuntamente: .

3. es equivalente a las dos ecuaciones y, por lo que las soluciones en la primera vuelta son 30º, 150º, 210º y 330º. Si añadimos n·360º a cada uno de estos valores la expresión se vuelve farragosa, por lo que se simplifica agrupándolos de dos en dos: 30º+n·180º, 150º+n·180º o, mejor todavía (aunque más difícil de determinar): .