La Trigonometría es una herramienta que abre muchas puertas al Cálculo, por lo que es muy conveniente tener cierto dominio de la misma. Es necesario conocer algunas relaciones entre ellas que nos permitirán, a su vez, demostrar muchas más.

Por el tema anterior sabemos que las razones trigonométricas de los ángulos agudos verifican unas determinadas relaciones. Éstas se cumplen también para ángulos cualesquiera, además, en el tema siguiente, verás aparecer bastantes fórmulas, no debes asustarte por su número, pues aprenderás a deducirlas a partir de unas pocas.

En muchas de las identidades y relaciones deberás utilizar las Identidades Notables, repásalas ahora, debes dominarlas perfectamente.

Veamos la primera de ellas.

Sea x un ángulo cualquiera que no es múltiplo de 90º. x determina en la circunferencia goniométrica un triángulo rectángulo OPP' cuya hipotenusa vale 1 y sus catetos son su seno y su coseno (con su signo correspondiente). Basta, pues, con aplicar el teorema de Pitágoras (al estar elevados al cuadrado el seno y el coseno, no importa si son positivos o negativos).

Si x es múltiplo de 90º, el punto que determinará sobre la circunferencia será A(1,0), B(0,1), C(-1,0) o D(0,-1), y en todos ellos se cumple la relación, veámoslo en D:

Para la segunda el razonamiento es parecido, utilizando la semejanza de triángulos. Sólo varía que en los ángulos 90º y 270º, la tangente no está definida.

La tercera se obtiene dividiendo los dos miembros de la primera por y aplicando la segunda.

Las demás identidades se deducen de una forma relativamente fácil de estas tres, como vamos a ver a continuación.

Ejemplos:

Demuestra las siguientes identidades:

1.

La demostración es casi inmediata, basta con elevar al cuadrado los dos miembros de la primera propiedad de la Trigonometría.

2.

Dos fracciones son iguales si lo es el producto "en cruz" de sus términos, o sea:

y de aquí: , o: , que es 1=1.

3.

Las relaciones no siempre son fáciles de demostrar. Muchas veces no debemos intentar demostrarlo todo de golpe, sino por partes. En este caso podemos observar que la primera parte del numerador se parece a la 1ª fórmula fundamental, luego podemos transformarla en:

de donde: , o sea:

y en el denominador se opera de forma análoga.

Debemos decir que lo que acabamos de hacer sería como un borrador de los intentos de demostración, que haríamos en un papel aparte. Una vez encontrado el camino debemos recomponer adecuadamente todos los detalles y presentar correctamente la demostración, tarea que te dejamos como ejercicio.

4.

En algunas ocasiones es más fácil transformar la identidad en otra equivalente que sea más fácil de demostrar, en este caso se puede partir de:

Multiplicando los términos del segundo miembro queda:

o:

y, volviendo a aplicar la fórmula fundamental, queda: .