1. Demeter y Persephone protegiendo la Tierra del Compás-Mosca. Creative Commons

En los temas que has estudiado has aprendido ya todo lo fundamental para resolver problemas de geometría con coordenadas: vectores, las ecuaciones de la recta, paralelismo, perpendicularidad, ángulos, distancias, la ecuación de la circunferencia... Ahora te proponemos un nuevo reto:

• En primer lugar, vamos a resolver los problemas gráficamente, sólo con regla y compás; luego los resolveremos analíticamente, con ecuaciones y todas las herramientas de cálculo que ya dispones.
• Verás que los trazados que tienes que hacer con regla y compás se corresponden con los pasos que tienes que dar para resolver el problema con coordenadas.
• Comprobarás que la previa resolución gráfica del problema es de gran ayuda para plantear y resolver los problemas analíticamente.

Los griegos resolvían de esta manera los problemas de geometría elemental, con regla y compás, pero no con cualquier regla o compás:

1. La regla tenía que ser sin graduar, sin marcas que permitieran medir o trasladar distancias..
2. El compás se cerraba cuando lo levantaban del papel. Es decir, después de utilizarlo olvidaba la distancia que tenía entre sus puntas.

Esas características de los instrumentos llevaba a que cada construcción con regla y compás consistía, exclusivamente, en una sucesión de las siguientes operaciones:

• Unir dos puntos por una recta
• Hallar el punto de intersección de dos rectas
• Trazar una circunferencia de radio y centro dados.
• Hallar los puntos de intersección de una circunferencia con otra circunferencia o con una recta.

Hubo tres problemas que interesaron especialmente a los griegos y que se han tratado de resolver, sin éxito, a lo largo de toda la historia:

• la trisección del ángulo
• la cuadratura del círculo
• la duplicación del cubo

Estos intentos estaban condenados al fracaso, pues en el siglo XIX se demostró que su solución era imposible.