2. Composición de funciones

Si a un número a le aplicamos una función real f(x), obtenemos su imagen b a través de ella. Si a esta imagen le aplicamos, a su vez, otra función real g(x), obtendremos un tercer número c:

Sangre (Creative Commons)

Esto nos permite definir una nueva función, la que a cada a le asigna el valor c, obtenido aplicando sucesivamente las funciones f y g (en este orden): (g°f)(a)=g(f(a))=g(b)=c. Esta nueva función se llama función compuesta de las funciones f y g, y se escribe y=(g°f)(x).

(Aunque se lee "f compuesta con g", se escribe la composición de derecha a izquierda para indicar mejor cuál es la función que se debe aplicar en primer lugar).

Ejemplos:

1. Sea f(x)=x2+1, y g(x)=x-2, la imagen de 3 a través de g°f es:

(g°f)(3)=g(f(3))=f(3)-2=(32+1)-2=10-2=8

en cambio, su imagen a través de f°g es:

(f°g)(3)=f(g(3))=g(3)2+1=(3-2)2+1=12+1=2

en donde ya se ve que la composición de funciones no es conmutativa.

2. Si tenemos que calcular varias imágenes de la función compuesta, es mejor determinar en primer lugar cuál es su expresión general y, luego, obtener las imágenes. Siguiendo con las funciones del anterior ejemplo, la composición de f con g será:

(g°f)(x)=g(f(x))=f(x)-2=(x2+1)-2=x2-1

y la de la función g compuesta con f:

(f°g)(x)=f(g(x))=g(x)2+1=(x-2)2+1=x2-4x+4+1=x2-4x+5

Fijémonos que, como era de esperar, los resultados obtenidos son diferentes entre sí. Muy raramente coinciden la composición de f con g y la de g con f.
Icono de iDevice Ejemplo o ejercicio resuelto

Sea , y . Hallar las funciones compuestas g°f y f°g.

Solución:

La función f compuesta con g es:

y la función g compuesta con f:


Icono IDevice Importante
g°f es la función f compuesta con g, y f°g es la función g compuesta con f (recuerda que se escribe al revés que se lee).

La composición de funciones no es conmutativa: (g°f)(x) no es lo mismo que (f°g)(x), salvo alguna posible excepción.


Icono de iDevice Ejemplo o ejercicio resuelto

Sean f(x)=x+1 y g(x)=x-1. Comprobar que las funciones compuestas f°g y g°f coinciden.

Solución:

Efectivamente:

(g°f)(x)=g(f(x))=f(x)-1=(x+1)-1=x

(f°g)(x)=f(g(x))=g(x)+1=(x-1)+1=x

En el apartado 3. veremos que estas dos funciones son inversas.

La igualdad en la composición de funciones también puede darse con funciones que no son inversas (por ejemplo: f(x)=x2 , g(x)=x3, en los Ejercicios de consolidación te presentamos otro caso menos sencillo), pero repetimos que ésto ocurre muy raramente.

 

 


Icono de iDevice AV - Actividad de Espacios en Blanco
Rellena los espacios en blanco con las respuestas correspondientes (las soluciones son números enteros).

Si , , entonces:

(a) (f°g)(0)=

(b) (f°g)(-3)=

(c) (g°f)(2)=

(d) (g°f)(4)=

 

  

AV - Pregunta Verdadero-Falso
(Antes de contestar, calcula las funciones compuestas y reflexiona un poco con algunos valores).


Dadas las funciones , , las funciones compuestas g°f y f°g son iguales entre sí, y a cada elemento le asocian él mismo.

Verdadero Falso
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