3.2. Problemas

En este apartado vamos a ver alguna aplicación de lo que hemos estudiado a lo largo de este tema y más en concreto, de la distribución binomial.

Ejemplo o ejercicio resuelto

14. CD. Creative Commons

Mucha información importante se almacena y transmite en forma digital. Está expuesta a errores que pueden causar que sea ilegible al utilizarla.

Es el caso de los CD de música: una mota de polvo, o una pequeña raya pueden hacer que el lector sea incapaz de interpretar la información y notemos un vacio o salto en la música que estamos escuchando. Existen muchos métodos para tratar de corregir esos errores y hacer a estos medios resistentes a estas situaciones. (Si estás interesado, en este enlace puedes leer una introducción alguno de los métodos de corrección de errores que se usan)

Uno de los métodos que puede emplearse hace uso de la gran capacidad de almacenamiento de los CDs y de la probabilidad. La idea es simple. Las unidades de información se repiten varias veces. El lector de CDs las compara y desecha la que menos se repite pues es la que considera erronea. ¿Qué posibilidades tenemos de que a pesar de todo elija la que contiene errores?

Por ejemplo, cada unidad de información se repite 5 veces. Si la mayoría de unidades de información coinciden con la buena, entonces el lector reproduce la información correcta, pero si por algún motivo hay 3, 4 ó 5 unidades de información erróneas, como son mayoría la reproducción entonces no sería correcta.

Podemos interpretar esta situación mediante la repetición cinco veces de una experiencia de Bernoulli, consistente en la lectura de una unidad de información que, por ejemplo, tiene un 20% de probabilidades de ser errónea y un 80% de no serlo. Con un 1 simbolizaremos una lectura correcta y con un 0 una incorrecta. La variable aleatoria asociada contará el número de 1 que hay en las cinco lecturas de la misma unidad de información. Es una distribución binomial B(5; 0,8).

El lector de CD se decidirá por una lectura incorrecta si X es 0, 1 y 2 y por la correcta si X es 3, 4 ó 5. Por tanto, la probabilidad de que se decida por un error es:

La probabilidad de una lectura errónea es de un 5,8% y de una correcta del 94,2%.

También podemos preguntarnos por cuál es el número de unidades de información erróneas que esperamos tener por término medio, es decir de la esperanza asociada a esta distribucón de probabilidad. De acuerdo con lo que hemos vista anteriomente esta media es:

Luego de las 5 unidades de información sólo esperamos 1 con errores.

En el siguiente applet tienes varios problemas para practicar los conocimientos. Te recomendamos que en primer lugar trates de resolverlos por tu cuenta, en tu cuaderno de trabajo, y luego compruebes si tu resolución es correcta.

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AV - Reflexión

Una academia asegura que aprueban el 90% de los alumnos que prepara para los exámenes de obtención del título de Bachillerato. Si a la convocatoria de este año ha presentado a 12 alumnos:

a) ¿Qué probabilidad hay de que aprueben todos?

b) ¿Qué probabilidad hay de que alguno suspenda?

c) ¿Qué probabilidad hay de que aprueben al menos 10 alumnos?

d) ¿Qué número de aprobados se espera obtener?

En ocasiones disponemos de una cantidad limitada de datos, que provienen del estudio estadístico de una situación. Un estudio a priori de la situación puede sugerirnos que ésta satisface las condiciones de una ley binomial. En ese caso, podemos averiguar la que mejor se ajusta a los datos del problema: Se puede demostrar distribución binomial que mejor se aproxima es la que tiene como esperanza la media de la muestra objeto de estudio: E =

. Por tanto:

Vemos algún ejemplo.

Ejemplo o ejercicio resuelto

En la fabricación de un disco duro multimedia intervienen cuatro componentes electrónicos. Un control de calidad ha revisado 500 discos multimedia y la siguiente tabla resume los resultados de la inspección:

nº de circuitos defectuosos	0	1	2	3
nº de discos multimedia	360	120	18	2

Calcula el número medio de circuitos defectuosos que tiene un disco multimedia y aproxima esta distribución estadística con una binomial, comparando:

a) la distribución estadística y la teórica
b) la probabilidad de no tener circuitos defectuosos en la distribución estadística y la teórica.

la media de la distribución estadística es:

Cabe suponer que los tres circuitos de que consta el aparato tienen la misma probabilidad de ser defectuosos, por lo que trataremos de aproximar esta distribución mediante una binomial en la que:

La distribución binomial que pensamos puede aproximar a los datos reflejados en la tabla es la binomial B(3; 0,108). En esta distribución, las probabilidades de teóricas así como la distribución teórica esperada en los 500 discos multimedias quedarían reflejadas en la siguiente tabla:

X	0	1	2	3
P(X)	0,7097	0,2578	0,0312	0,0013
nº discos esperados	355	129	16	1

La gráfica adjunta muestra que la distribución estadística y la teórica no difieren demasiado. Por otra parte, hemos visto que la distribución teórica prevé aproximadamente un 71% de discos multimedia sin defectos, mientras que ese porcentaje en la distribución estadística era de:

, que es prácticamente igual.

AV - Reflexión

Sospechamos que tenemos una moneda trucada. Para comprobarlo hacemos 150 series de cuatro lanzamientos anotando el número de caras que se ha obtenido en cada uno de ellas. El resultado obtenido figura en esta tabla:

nº de caras en la serie de 4 lanzamientos	0	1	2	3	4
nº de series	2	10	45	65	28

Calcula el número medio de caras que se obtienen en cada serie de 4 lanzamientos de la moneda y aproxima esta distribución estadística con una binomial, comparando:

a) la distribución estadística y la teórica.

b) la probabilidad de obtener cuatro caras en una serie de 4 lanzamientos tanto en la distribución estadística como en la teórica.

Para saber más

Para finalizar, te proporcionamos una colección de ejercicios que debes hacer para consolidar lo que has aprendido a lo largo de este tema.
* Ejercicios de consolidación
* Soluciones

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