Bastantes problemas de trigonometría pueden parecer complicados, pero muchos de ellos, bien orientados y con la única ayuda de las herramientas básicas, acaban resolviéndose de forma bastante sencilla. Esta aparente contradicción reside en el hecho de que la dificultad es más bien de tipo conceptual, y que se requiere una buena comprensión de la trigonometría para poder aplicarla adecuadamente. Por ello, continuaremos la resolución de problemas iniciada en el tema anterior con problemas con un nivel de dificultad algo superior. Como siempre, intenta resolver por tu cuenta los ejercicios resueltos antes de ver la solución.

1. Se coloca un mastil para una torre de radio encima de un montículo. Desde cierta distancia se ve la parte superior de la torre bajo un ángulo de elevación de 60º, mientras que su base se ve a 30º. Demostrar que la torre tiene el doble de altura que el montículo.

En los problemas en los que no nos dan ciertas distancias, debemos trabajar con incógnitas, en este caso vamos a llamar a la distancia a la base del montículo, x la altura de éste e y la altura de la torre. De los triángulos ABC y ABD se deduce:

despejando de la primera ecuación: , sustituyendo en la segunda:

de donde .

2. Halla el lado de un polígono regular de n lados inscrito en una circunferencia de radio r. Particulariza para un triángulo, cuadrado, pentágono y hexágono.

Sea la circunferencia de centro O y radio r=OA₁, y sean A, B los dos primeros vértices del polígono inscrito (en la figura se considera un hexágono a título de ejemplo), supondremos que A está sobre el eje de abscisas. El ángulo AOB vale . Si G es el punto medio del lado AB, el triángulo OAG es rectángulo en G, de donde:

de donde .

En el caso del triángulo n=3, luego: .

Para los demás casos basta con sustituir n por 4, 5 y 6 respectivamente. Lo dejamos como ejercicio.

3. En un dodecágono regular se construye un cuadrado cuyo lado es el segmento determinado por dos vértices separados por otros tres. Demostrar que las áreas del cuadrado y del octógono son iguales.

Consideraremos el octógono centrado en el origen de coordenadas y con un vértice en el eje de ordenadas (como si fuera un reloj). Dado que el problema no da unidades, supondremos que la distancia desde el centro O hasta los vértices es de r.

El área del dodecágono será 12 veces la del triángulo OCD.

Los ángulos centrales y abarcan uno y dos lados respectivamente, luego: , . Y el ángulo inscrito .

Así: .

Por otra parte, de OME:

y de AME:

luego: