2.1. Signo de la función

La atleta, al realizar su lanzamiento, imprime un movimiento al peso que hace que su trayectoria (prescidiendo de la resistencia del aire) se modeliza de acuerdo con lo que conocemos como tiro oblícuo. Esta nos permité obtener una ecuación que relaciona la distancia recorrida por el peso con la altura a la que se encuentra en cada momento. No nos interesa en este momento saber cómo se haya esta expresión analítica. Sabemos que la trayectoria es como la que aparece en la figura que tienes abajo.


12. Lanzadora. Creative Commons

La función, en realidad, solo tiene sentido en un dominio que va desde el momento en que sale de la mano de la lanzadora hasta que impacta en el suelo. Pero desde el punto de vista matemático se prolonga más allá, con valores negativos de la altura. Para saber a qué distancia llegará el peso, tenemos que averiguar para que valores de la variable independiente es positiva y dónde cambia de signo. En este caso, vemos en la gráfica que el cambio de signo positivo a signo negativo se produce un poco antes de los 12 metros, siendo esta la distancia que alcanzará el lanzamiento.

Importante

Para una función f(x) averiguar su signo consiste en saber qué valores de la variable dependiente hacen que tome valores positivos y cuáles que tome valores negativos.

Los valores en los que la gráfica atraviesa el eje horizontal los denominamos ceros de la función. Corresponden a los valores de la variable independiente en los que f(x) = 0.

A partir de la representación gráfica, basta observar qué parte del dominio de la función tiene la gráfica por encima del eje horizontal, y que partes por debajo: unas corresponden a la parte de la función que es positiva y las otras a la que es negativa.

Ejemplo o ejercicio resuelto

Observa el siguiente ejemplo.

La función aqui representada corta al eje X en los valores x=–3, x=1 y x=2. Estos valores son los ceros de esta función.

La función tiene signo positivo en:

La función tiene signo negativo en:

Ejemplo o ejercicio resuelto

Cuando una función está definida por su expresión analítica el estudio del signo depende de las expresiones que la componen. Una técnica general consiste en factorizar la expresión para expresarla como producto de otras expresiones más secillas de las que sea más fácil estudiar los intervalos en los que el signo no cambia y los valores dónde éste cambia. Veamos un ejemplo en el que, al ser las expresiones que entran en juego polinomios, podemos factorizarlo utilizando técnicas que ya conocemos, la obtención de las raíces de la ecuación asociada o el método de Ruffini.

Vamos a estudiar el signo de la función:

Observemos que:

a) El numerador cambia de signo en x = -1/2, siendo negativa para valores menores que valor y positiva para los mayores que él.

b) Resolviendo la ecuación de 2º grado asociada al denominador, , obtenemos sus raíces que son 1 y 2 respectivamente. En consecuencia, el denominador se factoriza de la siguiente forma:

c) El factor (x-1) cambia de signo negativo a positivo en x = 1; el otro factor cambia también de signo negativo a positivo en x = 2.

d) Para hacer el estudio del signo de la función procederemos a construir una tabla como la siguiente:


–	+	+	+
–	–	+	+
–	–	–	+
–	+	–	+

En ella ponemos una fila por cada factor y una más para la función. Luego añadimos tantas columnas como intervalos quedan determinados los cambios de signo en la recta real. Como había tres cambios de signo tendremos cuatro zonas, cada una correspondiente a un cambio de signo. Rellenamos las casillas de las filas correspondientes a los factores con los signos que tienen estos en cada uno de los intervalos. Los signos de la última fila se obtienen aplicando las propiedades del producto y cociente a cantidades con signo ("la regla de los signos").

La conclusión de este estudio es que:

la función f(x) tiene signo positivo en: y negativo en .

De forma adicional, también obtenemos que el numerador de la expresión se anula cuando x = -1/2 y en consecuencia, la función corta al eje horizontal en este valor. Además la función no estará definida en los valores 1 y 2 pues en ellos el denominador se anula y el cociente no es posible.

¿Te atreverías a hacer un esbozo de la gráfica?