2.2. Crecimiento y decrecimiento

Volvamos a la gráfica que hemos estudiado en el apartado 1.4. Ahora vamos a fijarnos en cómo, cuando la variable independiente recorre el dominio, los puntos de la gráfica, a veces van "subiendo" y otras veces "bajan". Para ver la animación pulsa el botón de inicio,

(que está en la esquina inferior izquierda) y denténla cuando se haya recorrido todo la gráfica, pulsando pausa,

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Habrás observado que, de los cuatro tramos en que queda dividida la gráfica, en el primero y en el tercero la gráfica se colorea de rojo, mientras que en los otros dos lo hace de verde. Diremos que en los dos primeros la función está creciendo, mientras que en los otros dos está decreciendo.

En los puntos en que hay un cambio de tendencia, diremos que la función tiene un extremo. En la próxima unidad dedicaremos un tema al estudio y localización de estos puntos.

Importante

Diremos que la función f(x) es creciente en el intervalo (a, b) si a medida que la variable independiente lo recorre, los valores de la función aumentan. Es decir:

cualesquiera que sean

, si

entonces

Diremos que la función f(x) es decreciente en el intervalo (a, b) si a medida que la variable independiente lo recorre, los valores de la función disminuyen. Es decir:

cualesquiera que sean

, si

entonces

Si las desigualdades entre las imágenes son estrictas, diremos que la función es estríctamente creciente o decreciente, según sea el caso.

Ejemplo o ejercicio resuelto

Si vuelves a observar el ejemplo con el que hemos empezado este apartado, puedes comprobar que la función f(x) es creciente en los intervalos (0, 2) y (5, 10) mientras que es decreciente en los intervalos (2, 5) y (10, 12,5).

En los valores 2, 5 y 10 hay cambios de tendencia, es decir, son extremos de esta función.

13. Te cuento… Creative Commons

Repasemos también, brevemente, los ejemplos que nos han ido apareciendo a lo largo de la unidad:

a) En el caso de la función que relaciona el número de "cri-cri" con la temperatura estamos, evidentemente, ante una función extrictamente creciente. El aumento del número de "cri-cri" contados se corresponde con un aumento de temperatura.

b) Lo mismo podemos decir de la función que nos da el precio de las llamadas telefónicas de acuerdo con su duración. En este caso, no podemos decir que sea estrictamente creciente, ya que el cambio de coste se produce segundo a segundo, pero no cambia a lo largo de todo el segundo (es decir, unas décimas más no suponen un cambio de coste).

c) La función que relaciona velocidades con duración del viaje es estrictamente decreciente pues cuando más rápido circulemos menos nos va a costar llegar a nuestro destino.

d) En el ejemplo de la excursión de montaña, con la que empezamos la segunda parte de este tema, hay tramos en los que la función es creciente — los intervalos (8, 10) y (10:30, 13:30)— y otros en que es decreciente —el intervalo (15, 17)—. Pero además de eso hay intervalos en los que se mantiene constante —los espacios de tiempo que corresponden a las paradas—.

Más adelante estudiaremos procedimientos analíticos que nos permitirán averiguar cuándo una función (que cumpla determinadas condiciones) está creciendo y cuando está decreciendo. Mientras tanto, sólo podremos pronunciarnos en los casos en que conozcamos la gráfica de la función o cuando la expresión analítica dependa de expresiones algebráicas cuyas propiedades ya conozacamos (como pueden ser las expresiones lineales o cuadráticas).

Ejemplo o ejercicio resuelto

Una función cuya expresión analítica sea expresión lineal sabemos que es crecriente o decreciente según el valor que tenga su pendiente.

Así por ejemplo. f(x) = 2x + 3 es creciente, mientras que g(x) = –(1/3)x + 1 es decreciente.

Para estudiar las funciones definidas por una expresión analítica que sea un polinomio de segundo grado, debemos recordar lo que ya aprendimos sobre este tipo de ecuaciones en otros cursos y sobre la parábola en el tema de la unidad 3dedicado a las cónicas.

Sabemos que si la función esta definida por una expresión cuadrática, su gráfica es una parábola convexa, si el coeficiente del término de 2º grado es negativo, y cócava si es positivo.

Además, sabemos que el vértice de la parábola corresponde a un cambio de tendencia que podemos hallar el valor de la variable independiente que le corresponde mediante la fórmula –b/2, donde b y a son los coeficientes de los términos de primer grado y segundo grado de la expresión analítica.

Teniendo en cuenta esto, por ejemplo, a la función , le corresponderá la parábola convexa —de color azul en el dibujo—, ya que su coeficiente de 2º grado es negativo y su vértice está en el valor x = 0. Por tanto, es creciente en el intervalo (–∞, 0) y decreciente en el intervalo (0, +∞).

En el caso de la función , le corresponderá la parábola cóncava —de color verde en el dibujo—, ya que su coeficiente de 2º grado es positivo y su vértice estará en x = –6/2·3= –1. Por tanto, es decreciente en el intervalo (–∞, –1) y creciente en el intervalo (–1, +∞).

AV - Reflexión

Estudia y calcula los intérvalos de crecimeinto y/o decrecimiento de estas funciones:

a) La función cuya gráfica es:

b) La función que asigna a cada cantidad de dinero en euros, su cambio en dólares?

c) La función que asigna a la longitud de la base de todos los posibles rectángulos de área , la longitud de su altura.

d) La función cuya expresión analítica es f(x) = –5x – 3

e) La función cuya expresión analítica es

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