Ramas infinitas

Cuando una función tiene, al menos, un límite infinito, se dice que tiene una rama infinita. Las ramas infinitas pueden ser de varios tipos, en algunas ocasiones, como acabamos de ver, la función se aproxima cada vez más (y tanto como se quiera) a una recta, que puede ser horizontal, vertical u oblícua. En estos casos se dice que tal recta es una asíntota de la función. Pero la función también puede tender a ∞ de una forma "parabólica", en la que no hay ninguna recta a la que se aproxime tanto como se quiera, éstas son las ramas parabólicas.

Las ramas parabólicas pueden ser de tipo vertical (los ejemplos más claros son las funciones polinómicas de grado ≥ 2, o la función exponencial y=e^x) o de tipo horizontal como la función y=ln x, que tiende hacia +∞ siendo cada vez más horizontal). En este apartado estudiaremos solamente las asíntotas horizontales y verticales.

Asíntotas horizontales

Sabemos que si , la gráfica de la función tiende a estabilizarse aldededor de dicho número b. En este caso la gráfica y la recta y=b tienden a acercarse cada vez más, y tanto como queramos, pudiéndose decir de forma intuitiva que la recta es una "tangente" de la función en el punto del infinito (si se pudiera considerar como tal).

Este lenguaje no es nada preciso, pero, en cambio, es bastante intuitivo y nos ayuda mucho a trazar la gráfica cuando la variable se hace muy grande. De una recta con la condición anterior se dice que es una asíntota horizontal de la función.

Con las asíntotas horizontales se pueden dar los casos siguientes:

• Si , y=b es asíntota horizontal cuando (en la parte de la derecha).
• Si , y=b es asíntota horizontal cuando (en la parte de la izquierda).
• Si , y=b es asíntota horizontal cuando (en ambos extremos).

Aunque se suelen utilizar casi exclusivamente las funciones racionales por la simplicidad de los cálculos, consideremos, a título de ejemplo, la función exponencial y=e^x. Sabemos que , por lo que y=0 es una asíntota horizontal cuando (y no cuando).

Una función racional tiene asíntota horizontal si el grado del polinomio numerador es igual al grado del polinomio denominador, y, en tal caso, según lo visto en el apartado 1.1, la asíntota tendrá por ecuación

, siendo a_n y b_m los coeficientes de los términos de mayor grado.

Asíntotas verticales

Una función tiene una asíntota vertical cuando , pudiendo ser el infinito +∞, -∞ o ∞ (sin signo). Ejemplos sencillos de cada caso pueden ser: . Igual que con las asíntotas horizontales, aunque utilizaremos funciones racionales por la comodidad de los cálculos, los resultados sirven para cualquier tipo de función (logarítmicas, o trigonométricas como la tangente).

Para obtener las asíntotas verticales de una función racional, debemos simplificar su expresión para, a continuación, hallar las raíces del denominador. Si x=a es una de estas raíces y no del numerador, entonces y x=a es una asíntota vertical de la función.

Si se han estudiado la multiplicidad de las raíces y el regionamiento (ver apartados 3.1 y 3.2 más adelante) la tendencia a +∞ o -∞ de los límites laterales será evidente y no hará falta estudiarla con detalle.

IMPORTANTE: Para utilizar el siguiente applet desmarca las casillas de Asíntotas y de Raíces y haz clic en "Definir f(x)". Define la función introduciendo con los deslizadores las raíces del numerador y denominador (x₁, x₂ , x₃, x₄) con sus multiplicidades (m, n, p, q) y el coeficiente a, luego, desmarca de nuevo "Definir f(x)" y observa el resultado (puedes añadir a la gráfica las asíntotas y las raíces).

El applet considera que x₁≠x₂, y que x₃≠x₄, si se introduce el mismo valor para una de estas parejas, debe cambiarse el valor de una de las raíces.

Si el numerador o denominador sólo tienen una raíz, indica que la multiplicidad de la otra es 0.

Explosión de Supernova (Dominio Público)