Dada la función : (a) calcula los límites laterales en x=2; (b) Determina sus asíntotas.

(a) Como resulta: .

y .

(b) -2 y 2 son raíces del denominador y no del numerador, luego los límites cuando x tiende a -2 o 2 son infinitos, por lo que las rectas x=-2 y x=2 son asíntotas verticales.

, la recta y=0 es asíntota horizontal.

(Utiliza el applet para ver mejor la función, los límites y las asíntotas) 

Estudia y representa la función: .

Descomponemos en producto de factores: , de aquí:

Raíces: -1 y 1 simples.

Asíntotas verticales: x=0 "doble" y x=2 "simple".

Regionamiento: Intervalos a considerar son (-∞,-1), (-1,0), (0,1), (1,2) y (2,+∞). En x=3 la función vale 8/3 positivo. El signo cambia en los intervalos salvo en (-1,0) y (0,1) por ser x de multiplicidad par. Así la función es positiva en (-1,0), (0,1) y (2,+∞) y nbegativa en (-∞,-1) y (1,2).

Trazamos las ramas correspondientes a las asíntotas verticales y los segmentos correspondientes a las raíces.

Asíntota horizontal: al ser el denominador de mayor grado que el numerador, el límite es 0, luego y=0 es asíntota horizontal.

 Finalmente trazamos la gráfica (ver solución con el applet).

Estudia y representa la función .

Raíces. En primer lugar debemos hallar las raíces del numerador y denominador: x²-3x+2=(x-1)·(x-2), y x²-1=(x+1)·(x-1). Por lo que 1 es una raíz común a los dos. Al no estar definida la función en x=1 (no se puede dividir por 0), sólo hay una raíz simple que es 2.

Asíntotas verticales: Deberían ser x=1 y x=-1, pero 1 es raíz también del numerador, por lo que tenemos que ver si hay asíntota o no: por lo que no la hay (ya se ha dicho que la habría si la multiplicidad de 1 en el denominador fuera mayor que la del numerador). La única asíntota vertical es x=-1 "simple".

Regionamiento: Consideramos los intervalos (-∞,-1), (-1,1), (1,2) y (2,+∞). Tomando x=0 resulta y(0)=-2, negativo, por lo que la función será positiva en (-∞,1) y (2,+∞) pues 1 actúa como si tuviera multiplicidad par (para valores distintos de 1, la función es , por lo que es 2 o 0, depende de cómo se mire), y negativa en (-1,1) y (1,2).

Se trazan los trozos correspondientes a los límites laterales de x=-1 (los de x=1 ya hemos visto que son ), y unos segmentos corespondientes a la raíz x=2.

Asíntota horizontal: , es la recta y=1.

Trazamos ahora la gráfica. Fíjate que en (1,-1/2) hay un punto blanco para indicar que no está en la gráfica (también se podía haber representado con una doble flecha).

(Ver solución gráfica con el applet)