3.5. Otras funciones
Función Valor Absoluto
Ya sabemos que 
, y que su gráfica es la que se obtiene considerando la parte positiva de y=x (bisectriz del primer cuadrante) y su opuesta para la parte negativa (o sea, la semirrecta simétrica de y=x para x<0 respecto del eje OX ).
La pequeña dificultad de esta función viene cuando se compone con otra, teniendo: 
. La forma de dibujar la gráfica de esta función consiste en trazar la función 
y, a continuación, dejar la parte de la curva que se encuentra por encima del eje OX, y tomar su simétrica para la que está por debajo. Lo entenderás fácilmente si en el applet comparas la función f(x) con 
(utiliza el deslizador).
La expresión algebraica se obtiene hallando, en primer lugar, las raíces de la función f(x) y descomponiendo el dominio en los intervalos donde la función es positiva o negativa. En donde es positiva la función vale f(x), y en el resto -f(x). Fíjate en el ejemplo.
Ejemplo o ejercicio resuelto
Dibuja la gráfica y halla la expresión de la función 
.
Las raíces de f(x)=x2-x-2 son -1 y 2 (resuelve la ecuación de 2º grado), por lo que la gráfica es una parábola vertical, basta, pues, con tomar las ramas que se encuentran en el semiplano superior, y con trazar la simétrica del trozo que está por debajo (que corresponde al intervalo (-1,2) ). Utiliza el applet para ver la solución.
La expresión algebraica es:
, o: 
.
Ejemplo o ejercicio resuelto
Halla una expresión para la función 
y representa su gráfica.
Dado que x-2<0 si x<2, resulta que: 
por lo que: 
.
La gráfica es:
Función Parte Entera
Esta función se utiliza en muchas circunstancias de la vida corriente (sin aplicar su definición matemática). Si compramos un producto que vale 20'15 €, puede que nos cobren solamente 20 € como una pequeña atención al cliente, aunque si la compra se efectúa en un centro comercial, lo más probable es que, por imperativo del marketing, el precio sea 19,99 o 19'95 €.
A cada valor x, la función f(x)=E(x) asigna el mayor entero que es menor que dicho número x. Así:
E(8'6)=-9 , E(-2'1)=-3 , E(0'46)=0 , E(3'1416)=3 , E(27'89)=27
(Atención a los negativos, la intuición puede fallarnos).
La gráfica de la función E(x) es la de una "escalera". Utiliza el applet anterior para visualizar la gráfica de las funciones:
(a) y=E(x) , (b) y=E(½x-2) , (c) y=E(x2+x-2)
Nota: Esta función puede encontrarse también bajo la notación f(x)=[x].
Curiosidad
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| Teléfono público (Dominio Público) |
La función Parte Entera es mucho más frecuente de lo que podamos pensar. Figura siempre que se tratan valores por tramos. Por ejemplo, el porcentaje de la la base imponible que hay que pagar a Hacienda en la declaración de la renta está en función de que aquélla esté en unos determinados intervalos. Tal vez lo más justo sería que el porcentaje fuera variando continuamente según aumenta la base imponible, pero hay que tener en cuenta que los orígenes de la declaración de la renta son anteriores a las calculadoras electrónicas, por lo que es normal que los porcentajes a aplicar fueran "sencillos".
Lo mismo ocurre con algunas tarifas de servicios: el precio del agua
potable varía en función del consumo; durante muchos años hablar por
móvil durante 3 minutos 59 segundos costaba lo mismo que hablar 3
minutos y 1 segundo; en las cabinas telefónicas se sigue aplicando el
cobro por "impulsos";...
Para saber más
Valor absoluto y entornos
A lo largo de todo el curso hemos estado trabajando con el valor absoluto, sabemos que la distancia entre a y b se puede expresar como el valor absoluto de la diferencia: 
, y es precisamente la expresión 
lo que nos determina el entorno del punto a de radio ε. Veámoslo.
, luego, si x<a: a-x<ε , o: a-ε<x. Y si a≤x: x-a<ε, o sea: x<a+ε. Así, pues:
a-ε < x < a+ε , luego 
, que es el conjunto de puntos que distan de a una distancia máxima de ε.
AV - Pregunta Verdadero-Falso
nunca es mayor que 0.
Verdadero Falso
tiene forma de V.
Verdadero Falso