Si una función es continua en cierto intervalo, la función recorre todos los valores que toma en sus extremos. Este resultado teórico tan intuitivo no lo podemos demostrar en este curso, pero lo aceptaremos, pues con él podremos delimitar grandes regiones por las que no pasa la función.

Por este resultado, si una función es continua en un intervalo [a,b] y en sus extremos toma valores de signo contrario (+ y -, o bien - y +), entonces la función debe anularse en algún punto del interior del intervalo, o sea, debe tener una raíz en (a,b). Equivalentemente, una función continua no puede tomar valores de signos opuestos entre dos raíces consecutivas, pues entonces debería tener una tercera raíz entre estas dos.

Esto nos permite considerar el siguiente procedimiento muy sencillo, que se conoce como regionamiento de la función, y que consiste en:

• Determinar todas las raíces de la función y los puntos donde no esté definida.
• Estudiar si la función es continua en cada uno de los intervalos que determinan.
• Calcular el signo de la función en un punto del interior de estos intervalos.
• Eliminar la parte positiva (o negativa) del plano que determina cada intervalo.

Así, obtendremos fácilmente grandes regiones del plano donde sabremos que la función no puede pasar, con lo que el trazado de la gráfica casi se podrá adivinar. Lo entenderemos enseguida con un ejemplo.

En el applet, determina en primer lugar con el deslizador la primera raíz (la menor o x₁) y, a continuación, la segunda x₂.

Por el apartado anterior, si conocemos la multiplicidad de todas las raíces y puntos donde no está definida, podemos deducir fácilmente si la función cambiará o no de signo al pasar del lado izquierdo al derecho de uno de estos puntos. Por lo que para hacer el regionamiento bastará con calcular el signo de un determinado intervalo y, luego, en función de si la raíz (o el punto donde no está definida) es de multiplicidad par o impar, ir deduciendo las regiones donde no puede estar la función.

En el caso anterior, el razonamiento podría ser el siguiente: En x=1 la función vale -6, negativo, y las dos raíces 0 y 2 son simples (multiplicidad impar), luego la función cambiará de signo al pasar por estos puntos.

Nota: Aunque para simplificar la exposición hemos utilizado funciones polinómicas, todo lo que se ha dicho sirve también para las racionales, con la salvedad de que el razonamiento debe aplicarse tanto al numerador (del que obtendremos las raíces) como al denominador (que nos dará las asíntotas). En el apartado 3.4 trataremos este caso específico.